Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61714 / 77362
↖ ↑ ↗
← S 30.869225°
W 10.497437°		 ← 262.16 m → S 30.869225°
W 10.494690°		 →
↑
262.17 m
↓
↑
262.17 m
↓
S 30.871583°
W 10.497437°		 ← 262.15 m →
68 729 m²		 S 30.871583°
W 10.494690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470844268798828 y=0.590229034423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470844268798828 × 217)
    floor (0.470844268798828 × 131072)
    floor (61714.5)     		tx = 61714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590229034423828 × 217)
    floor (0.590229034423828 × 131072)
    floor (77362.5)     		ty = 77362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61714 / 77362 ti = "17/61714/77362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61714/77362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61714 ÷ 217
    61714 ÷ 131072     		x = 0.470840454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77362 ÷ 217
    77362 ÷ 131072     		y = 0.590225219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470840454101562 × 2 - 1) × π
    -0.058319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18321483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590225219726562 × 2 - 1) × π
    -0.180450439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566901774906784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18321483} λ = -0.18321483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566901774906784))-π/2
    2×atan(0.567280280848832)-π/2
    2×0.5160133534727-π/2
    1.0320267069454-1.57079632675     		φ = -0.53876962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18321483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.497437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53876962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.869225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61714 KachelY 77362 -0.18321483 -0.53876962 -10.497437 -30.869225
    Oben rechts KachelX + 1 61715 KachelY 77362 -0.18316689 -0.53876962 -10.494690 -30.869225
    Unten links KachelX 61714 KachelY + 1 77363 -0.18321483 -0.53881077 -10.497437 -30.871583
    Unten rechts KachelX + 1 61715 KachelY + 1 77363 -0.18316689 -0.53881077 -10.494690 -30.871583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53876962--0.53881077) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dl = 262.166650000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53876962--0.53881077) × R
    4.11500000000453e-05 × 6371000     		dr = 262.166650000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18321483--0.18316689) × cos(-0.53876962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858340614631025 × 6371000     		do = 262.159317395716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18321483--0.18316689) × cos(-0.53881077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.858319500650162 × 6371000     		du = 262.152868642486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53876962)-sin(-0.53881077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858340614631025-0.858319500650162)×R²
    abs(-0.18316689--0.18321483)×2.1113980863352e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1113980863352e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1113980863352e-05×40589641000000     		ar = 68728.5846936463m²