Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61713 / 40721
↖ ↑ ↗
← N 56.144019°
W 10.500183°		 ← 170.15 m → N 56.144019°
W 10.497437°		 →
↑
170.11 m
↓
↑
170.11 m
↓
N 56.142489°
W 10.500183°		 ← 170.16 m →
28 945 m²		 N 56.142489°
W 10.497437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470836639404297 y=0.310680389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470836639404297 × 217)
    floor (0.470836639404297 × 131072)
    floor (61713.5)     		tx = 61713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310680389404297 × 217)
    floor (0.310680389404297 × 131072)
    floor (40721.5)     		ty = 40721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61713 / 40721 ti = "17/61713/40721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61713/40721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61713 ÷ 217
    61713 ÷ 131072     		x = 0.470832824707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40721 ÷ 217
    40721 ÷ 131072     		y = 0.310676574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470832824707031 × 2 - 1) × π
    -0.0583343505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18326277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310676574707031 × 2 - 1) × π
    0.378646850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.18955416407169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18326277} λ = -0.18326277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18955416407169))-π/2
    2×atan(3.28561603511909)-π/2
    2×1.27534716022052-π/2
    2.55069432044103-1.57079632675     		φ = 0.97989799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18326277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.500183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97989799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.144019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61713 KachelY 40721 -0.18326277 0.97989799 -10.500183 56.144019
    Oben rechts KachelX + 1 61714 KachelY 40721 -0.18321483 0.97989799 -10.497437 56.144019
    Unten links KachelX 61713 KachelY + 1 40722 -0.18326277 0.97987129 -10.500183 56.142489
    Unten rechts KachelX + 1 61714 KachelY + 1 40722 -0.18321483 0.97987129 -10.497437 56.142489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97989799-0.97987129) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dl = 170.105700000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97989799-0.97987129) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dr = 170.105700000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18326277--0.18321483) × cos(0.97989799) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557107262904635 × 6371000     		do = 170.15489803201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18326277--0.18321483) × cos(0.97987129) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557129435468587 × 6371000     		du = 170.161670103762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97989799)-sin(0.97987129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557107262904635-0.557129435468587)×R²
    abs(-0.18321483--0.18326277)×2.21725639522052e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21725639522052e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21725639522052e-05×40589641000000     		ar = 28944.8940238478m²