Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61712 / 78096
↖ ↑ ↗
← S 32.583849°
W 10.502929°		 ← 257.30 m → S 32.583849°
W 10.500183°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 32.586163°
W 10.502929°		 ← 257.29 m →
66 209 m²		 S 32.586163°
W 10.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470829010009766 y=0.595829010009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470829010009766 × 217)
    floor (0.470829010009766 × 131072)
    floor (61712.5)     		tx = 61712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595829010009766 × 217)
    floor (0.595829010009766 × 131072)
    floor (78096.5)     		ty = 78096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61712 / 78096 ti = "17/61712/78096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61712/78096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61712 ÷ 217
    61712 ÷ 131072     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78096 ÷ 217
    78096 ÷ 131072     		y = 0.5958251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.602087459227905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602087459227905))-π/2
    2×atan(0.547667209067827)-π/2
    2×0.501050436551477-π/2
    1.00210087310295-1.57079632675     		φ = -0.56869545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56869545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.583849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61712 KachelY 78096 -0.18331070 -0.56869545 -10.502929 -32.583849
    Oben rechts KachelX + 1 61713 KachelY 78096 -0.18326277 -0.56869545 -10.500183 -32.583849
    Unten links KachelX 61712 KachelY + 1 78097 -0.18331070 -0.56873584 -10.502929 -32.586163
    Unten rechts KachelX + 1 61713 KachelY + 1 78097 -0.18326277 -0.56873584 -10.500183 -32.586163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56869545--0.56873584) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dl = 257.324690000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56869545--0.56873584) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dr = 257.324690000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(-0.56869545) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.842604235556986 × 6371000     		do = 257.299339856288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(-0.56873584) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.8425824835102 × 6371000     		du = 257.292697607125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56869545)-sin(-0.56873584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842604235556986-0.8425824835102)×R²
    abs(-0.18326277--0.18331070)×2.17520467861165e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17520467861165e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17520467861165e-05×40589641000000     		ar = 66208.6182674759m²