Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61712 / 33872
↖ ↑ ↗
← N 65.275093°
W 10.502929°		 ← 127.72 m → N 65.275093°
W 10.500183°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 65.273945°
W 10.502929°		 ← 127.73 m →
16 315 m²		 N 65.273945°
W 10.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470829010009766 y=0.258426666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470829010009766 × 217)
    floor (0.470829010009766 × 131072)
    floor (61712.5)     		tx = 61712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258426666259766 × 217)
    floor (0.258426666259766 × 131072)
    floor (33872.5)     		ty = 33872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61712 / 33872 ti = "17/61712/33872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61712/33872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61712 ÷ 217
    61712 ÷ 131072     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33872 ÷ 217
    33872 ÷ 131072     		y = 0.2584228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2584228515625 × 2 - 1) × π
    0.483154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51787398956946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51787398956946))-π/2
    2×atan(4.56251492241452)-π/2
    2×1.35503081438538-π/2
    2.71006162877077-1.57079632675     		φ = 1.13926530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13926530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.275093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61712 KachelY 33872 -0.18331070 1.13926530 -10.502929 65.275093
    Oben rechts KachelX + 1 61713 KachelY 33872 -0.18326277 1.13926530 -10.500183 65.275093
    Unten links KachelX 61712 KachelY + 1 33873 -0.18331070 1.13924525 -10.502929 65.273945
    Unten rechts KachelX + 1 61713 KachelY + 1 33873 -0.18326277 1.13924525 -10.500183 65.273945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13926530-1.13924525) × R
    2.00499999998272e-05 × 6371000     		dl = 127.738549998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13926530-1.13924525) × R
    2.00499999998272e-05 × 6371000     		dr = 127.738549998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(1.13926530) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418261964222467 × 6371000     		do = 127.721322466764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(1.13924525) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.418280176083602 × 6371000     		du = 127.72688367765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13926530)-sin(1.13924525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418261964222467-0.418280176083602)×R²
    abs(-0.18326277--0.18331070)×1.82118611342097e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82118611342097e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82118611342097e-05×40589641000000     		ar = 16315.2917269672m²