Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61712 / 33840
↖ ↑ ↗
← N 65.311829°
W 10.502929°		 ← 127.54 m → N 65.311829°
W 10.500183°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 65.310682°
W 10.502929°		 ← 127.55 m →
16 268 m²		 N 65.310682°
W 10.500183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470829010009766 y=0.258182525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470829010009766 × 217)
    floor (0.470829010009766 × 131072)
    floor (61712.5)     		tx = 61712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258182525634766 × 217)
    floor (0.258182525634766 × 131072)
    floor (33840.5)     		ty = 33840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61712 / 33840 ti = "17/61712/33840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61712/33840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61712 ÷ 217
    61712 ÷ 131072     		x = 0.4708251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33840 ÷ 217
    33840 ÷ 131072     		y = 0.2581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    -0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2581787109375 × 2 - 1) × π
    0.483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5194079703573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18331070} λ = -0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5194079703573))-π/2
    2×atan(4.56951910341583)-π/2
    2×1.35535139387828-π/2
    2.71070278775657-1.57079632675     		φ = 1.13990646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13990646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.311829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61712 KachelY 33840 -0.18331070 1.13990646 -10.502929 65.311829
    Oben rechts KachelX + 1 61713 KachelY 33840 -0.18326277 1.13990646 -10.500183 65.311829
    Unten links KachelX 61712 KachelY + 1 33841 -0.18331070 1.13988644 -10.502929 65.310682
    Unten rechts KachelX + 1 61713 KachelY + 1 33841 -0.18326277 1.13988644 -10.500183 65.310682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13990646-1.13988644) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13990646-1.13988644) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(1.13990646) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417679495708541 × 6371000     		do = 127.543458698941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18331070--0.18326277) × cos(1.13988644) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417697685685332 × 6371000     		du = 127.549013227179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13990646)-sin(1.13988644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417679495708541-0.417697685685332)×R²
    abs(-0.18326277--0.18331070)×1.81899767913718e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81899767913718e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81899767913718e-05×40589641000000     		ar = 16268.1933284384m²