Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61710 / 40386
↖ ↑ ↗
← N 56.653207°
W 10.508423°		 ← 167.89 m → N 56.653207°
W 10.505676°		 →
↑
167.88 m
↓
↑
167.88 m
↓
N 56.651697°
W 10.508423°		 ← 167.90 m →
28 186 m²		 N 56.651697°
W 10.505676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470813751220703 y=0.308124542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470813751220703 × 217)
    floor (0.470813751220703 × 131072)
    floor (61710.5)     		tx = 61710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308124542236328 × 217)
    floor (0.308124542236328 × 131072)
    floor (40386.5)     		ty = 40386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61710 / 40386 ti = "17/61710/40386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61710/40386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61710 ÷ 217
    61710 ÷ 131072     		x = 0.470809936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40386 ÷ 217
    40386 ÷ 131072     		y = 0.308120727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470809936523438 × 2 - 1) × π
    -0.058380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18340658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308120727539062 × 2 - 1) × π
    0.383758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20561302544441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18340658} λ = -0.18340658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20561302544441))-π/2
    2×atan(3.33880522338964)-π/2
    2×1.27979066031228-π/2
    2.55958132062456-1.57079632675     		φ = 0.98878499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18340658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.508423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98878499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.653207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61710 KachelY 40386 -0.18340658 0.98878499 -10.508423 56.653207
    Oben rechts KachelX + 1 61711 KachelY 40386 -0.18335864 0.98878499 -10.505676 56.653207
    Unten links KachelX 61710 KachelY + 1 40387 -0.18340658 0.98875864 -10.508423 56.651697
    Unten rechts KachelX + 1 61711 KachelY + 1 40387 -0.18335864 0.98875864 -10.505676 56.651697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98878499-0.98875864) × R
    2.63499999999528e-05 × 6371000     		dl = 167.875849999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98878499-0.98875864) × R
    2.63499999999528e-05 × 6371000     		dr = 167.875849999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18340658--0.18335864) × cos(0.98878499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.549705235254461 × 6371000     		do = 167.894128259552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18340658--0.18335864) × cos(0.98875864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.549727246765315 × 6371000     		du = 167.900851141543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98878499)-sin(0.98875864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549705235254461-0.549727246765315)×R²
    abs(-0.18335864--0.18340658)×2.20115108534591e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20115108534591e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20115108534591e-05×40589641000000     		ar = 28185.9337979345m²