Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61708 / 78107
↖ ↑ ↗
← S 32.609303°
W 10.513916°		 ← 257.28 m → S 32.609303°
W 10.511169°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.611616°
W 10.513916°		 ← 257.27 m →
66 187 m²		 S 32.611616°
W 10.511169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470798492431641 y=0.595912933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470798492431641 × 217)
    floor (0.470798492431641 × 131072)
    floor (61708.5)     		tx = 61708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595912933349609 × 217)
    floor (0.595912933349609 × 131072)
    floor (78107.5)     		ty = 78107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61708 / 78107 ti = "17/61708/78107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61708/78107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61708 ÷ 217
    61708 ÷ 131072     		x = 0.470794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78107 ÷ 217
    78107 ÷ 131072     		y = 0.595909118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.05841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18350245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595909118652344 × 2 - 1) × π
    -0.191818237304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.602614765123726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18350245} λ = -0.18350245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602614765123726))-π/2
    2×atan(0.547378497046003)-π/2
    2×0.500828313008585-π/2
    1.00165662601717-1.57079632675     		φ = -0.56913970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18350245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.513916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56913970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.609303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61708 KachelY 78107 -0.18350245 -0.56913970 -10.513916 -32.609303
    Oben rechts KachelX + 1 61709 KachelY 78107 -0.18345451 -0.56913970 -10.511169 -32.609303
    Unten links KachelX 61708 KachelY + 1 78108 -0.18350245 -0.56918008 -10.513916 -32.611616
    Unten rechts KachelX + 1 61709 KachelY + 1 78108 -0.18345451 -0.56918008 -10.511169 -32.611616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56913970--0.56918008) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56913970--0.56918008) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18350245--0.18345451) × cos(-0.56913970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.842364909004319 × 6371000     		do = 257.279925682806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18350245--0.18345451) × cos(-0.56918008) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.842343147230226 × 6371000     		du = 257.27327907685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56913970)-sin(-0.56918008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842364909004319-0.842343147230226)×R²
    abs(-0.18345451--0.18350245)×2.17617740929654e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17617740929654e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17617740929654e-05×40589641000000     		ar = 66187.2308682341m²