Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61708 / 12586
↖ ↑ ↗
← N 73.562631°
E158.972168°		 ← 172.83 m → N 73.562631°
E158.977661°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 73.561076°
E158.972168°		 ← 172.85 m →
29 875 m²		 N 73.561076°
E158.977661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941596984863281 y=0.192054748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941596984863281 × 216)
    floor (0.941596984863281 × 65536)
    floor (61708.5)     		tx = 61708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192054748535156 × 216)
    floor (0.192054748535156 × 65536)
    floor (12586.5)     		ty = 12586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61708 / 12586 ti = "16/61708/12586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61708/12586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61708 ÷ 216
    61708 ÷ 65536     		x = 0.94158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12586 ÷ 216
    12586 ÷ 65536     		y = 0.192047119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94158935546875 × 2 - 1) × π
    0.8831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77458775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192047119140625 × 2 - 1) × π
    0.61590576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93492501626395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77458775} λ = 2.77458775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93492501626395))-π/2
    2×atan(6.92352488415135)-π/2
    2×1.42735321824072-π/2
    2.85470643648143-1.57079632675     		φ = 1.28391011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77458775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.972168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28391011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.562631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61708 KachelY 12586 2.77458775 1.28391011 158.972168 73.562631
    Oben rechts KachelX + 1 61709 KachelY 12586 2.77468362 1.28391011 158.977661 73.562631
    Unten links KachelX 61708 KachelY + 1 12587 2.77458775 1.28388298 158.972168 73.561076
    Unten rechts KachelX + 1 61709 KachelY + 1 12587 2.77468362 1.28388298 158.977661 73.561076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28391011-1.28388298) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dl = 172.84523000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28391011-1.28388298) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dr = 172.84523000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77458775-2.77468362) × cos(1.28391011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282967079995822 × 6371000     		do = 172.832831774056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77458775-2.77468362) × cos(1.28388298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282993101078325 × 6371000     		du = 172.848725133011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28391011)-sin(1.28388298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282967079995822-0.282993101078325)×R²
    abs(2.77468362-2.77458775)×2.60210825024365e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60210825024365e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60210825024365e-05×40589641000000     		ar = 29874.7041069674m²