Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61706 / 40946
↖ ↑ ↗
← N 55.798193°
W 10.519409°		 ← 171.68 m → N 55.798193°
W 10.516663°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.796649°
W 10.519409°		 ← 171.69 m →
29 478 m²		 N 55.796649°
W 10.516663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470783233642578 y=0.312397003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470783233642578 × 217)
    floor (0.470783233642578 × 131072)
    floor (61706.5)     		tx = 61706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312397003173828 × 217)
    floor (0.312397003173828 × 131072)
    floor (40946.5)     		ty = 40946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61706 / 40946 ti = "17/61706/40946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61706/40946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61706 ÷ 217
    61706 ÷ 131072     		x = 0.470779418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40946 ÷ 217
    40946 ÷ 131072     		y = 0.312393188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470779418945312 × 2 - 1) × π
    -0.058441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18359833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312393188476562 × 2 - 1) × π
    0.375213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17876836165718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18359833} λ = -0.18359833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17876836165718))-π/2
    2×atan(3.25036845816028)-π/2
    2×1.27232925856043-π/2
    2.54465851712085-1.57079632675     		φ = 0.97386219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18359833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.519409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97386219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.798193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61706 KachelY 40946 -0.18359833 0.97386219 -10.519409 55.798193
    Oben rechts KachelX + 1 61707 KachelY 40946 -0.18355039 0.97386219 -10.516663 55.798193
    Unten links KachelX 61706 KachelY + 1 40947 -0.18359833 0.97383524 -10.519409 55.796649
    Unten rechts KachelX + 1 61707 KachelY + 1 40947 -0.18355039 0.97383524 -10.516663 55.796649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97386219-0.97383524) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97386219-0.97383524) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18359833--0.18355039) × cos(0.97386219) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562109457584218 × 6371000     		do = 171.682697043645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18359833--0.18355039) × cos(0.97383524) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562131746723889 × 6371000     		du = 171.689504720623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97386219)-sin(0.97383524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562109457584218-0.562131746723889)×R²
    abs(-0.18355039--0.18359833)×2.22891396713942e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22891396713942e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22891396713942e-05×40589641000000     		ar = 29478.2374097199m²