Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61705 / 77366
↖ ↑ ↗
← S 30.878655°
W 10.522156°		 ← 262.08 m → S 30.878655°
W 10.519409°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
S 30.881012°
W 10.522156°		 ← 262.07 m →
68 691 m²		 S 30.881012°
W 10.519409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470775604248047 y=0.590259552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470775604248047 × 217)
    floor (0.470775604248047 × 131072)
    floor (61705.5)     		tx = 61705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590259552001953 × 217)
    floor (0.590259552001953 × 131072)
    floor (77366.5)     		ty = 77366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61705 / 77366 ti = "17/61705/77366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61705/77366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61705 ÷ 217
    61705 ÷ 131072     		x = 0.470771789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77366 ÷ 217
    77366 ÷ 131072     		y = 0.590255737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470771789550781 × 2 - 1) × π
    -0.0584564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18364626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590255737304688 × 2 - 1) × π
    -0.180511474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.567093522505264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18364626} λ = -0.18364626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567093522505264))-π/2
    2×atan(0.567171516645284)-π/2
    2×0.515931065145205-π/2
    1.03186213029041-1.57079632675     		φ = -0.53893420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18364626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.522156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53893420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.878655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61705 KachelY 77366 -0.18364626 -0.53893420 -10.522156 -30.878655
    Oben rechts KachelX + 1 61706 KachelY 77366 -0.18359833 -0.53893420 -10.519409 -30.878655
    Unten links KachelX 61705 KachelY + 1 77367 -0.18364626 -0.53897534 -10.522156 -30.881012
    Unten rechts KachelX + 1 61706 KachelY + 1 77367 -0.18359833 -0.53897534 -10.519409 -30.881012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53893420--0.53897534) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53893420--0.53897534) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18364626--0.18359833) × cos(-0.53893420) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.858256160251676 × 6371000     		do = 262.078843354466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18364626--0.18359833) × cos(-0.53897534) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.858235045590655 × 6371000     		du = 262.072395738714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53893420)-sin(-0.53897534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858256160251676-0.858235045590655)×R²
    abs(-0.18359833--0.18364626)×2.11146610207269e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.11146610207269e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.11146610207269e-05×40589641000000     		ar = 68690.7903951225m²