Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61704 / 76520
↖ ↑ ↗
← S 28.863918°
W 10.524902°		 ← 267.48 m → S 28.863918°
W 10.522156°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
S 28.866324°
W 10.524902°		 ← 267.48 m →
71 539 m²		 S 28.866324°
W 10.522156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470767974853516 y=0.583805084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470767974853516 × 217)
    floor (0.470767974853516 × 131072)
    floor (61704.5)     		tx = 61704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583805084228516 × 217)
    floor (0.583805084228516 × 131072)
    floor (76520.5)     		ty = 76520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61704 / 76520 ti = "17/61704/76520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61704/76520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61704 ÷ 217
    61704 ÷ 131072     		x = 0.47076416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76520 ÷ 217
    76520 ÷ 131072     		y = 0.58380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47076416015625 × 2 - 1) × π
    -0.0584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18369420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1676025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.526538905426697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18369420} λ = -0.18369420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526538905426697))-π/2
    2×atan(0.590645716716773)-π/2
    2×0.533512957621699-π/2
    1.0670259152434-1.57079632675     		φ = -0.50377041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18369420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.524902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50377041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.863918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61704 KachelY 76520 -0.18369420 -0.50377041 -10.524902 -28.863918
    Oben rechts KachelX + 1 61705 KachelY 76520 -0.18364626 -0.50377041 -10.522156 -28.863918
    Unten links KachelX 61704 KachelY + 1 76521 -0.18369420 -0.50381239 -10.524902 -28.866324
    Unten rechts KachelX + 1 61705 KachelY + 1 76521 -0.18364626 -0.50381239 -10.522156 -28.866324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50377041--0.50381239) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50377041--0.50381239) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18369420--0.18364626) × cos(-0.50377041) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.875768697482478 × 6371000     		do = 267.482302497402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18369420--0.18364626) × cos(-0.50381239) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87574843166471 × 6371000     		du = 267.476112795013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50377041)-sin(-0.50381239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875768697482478-0.87574843166471)×R²
    abs(-0.18364626--0.18369420)×2.02658177685944e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.02658177685944e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.02658177685944e-05×40589641000000     		ar = 71538.5391502419m²