Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61703 / 12583
↖ ↑ ↗
← N 73.567293°
E158.944702°		 ← 172.79 m → N 73.567293°
E158.950195°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 73.565739°
E158.944702°		 ← 172.80 m →
29 866 m²		 N 73.565739°
E158.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941520690917969 y=0.192008972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941520690917969 × 216)
    floor (0.941520690917969 × 65536)
    floor (61703.5)     		tx = 61703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192008972167969 × 216)
    floor (0.192008972167969 × 65536)
    floor (12583.5)     		ty = 12583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61703 / 12583 ti = "16/61703/12583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61703/12583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61703 ÷ 216
    61703 ÷ 65536     		x = 0.941513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12583 ÷ 216
    12583 ÷ 65536     		y = 0.192001342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941513061523438 × 2 - 1) × π
    0.883026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.77410838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192001342773438 × 2 - 1) × π
    0.615997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93521263766167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77410838} λ = 2.77410838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93521263766167))-π/2
    2×atan(6.92551652446113)-π/2
    2×1.42739390632175-π/2
    2.8547878126435-1.57079632675     		φ = 1.28399149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77410838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.944702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28399149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.567293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61703 KachelY 12583 2.77410838 1.28399149 158.944702 73.567293
    Oben rechts KachelX + 1 61704 KachelY 12583 2.77420425 1.28399149 158.950195 73.567293
    Unten links KachelX 61703 KachelY + 1 12584 2.77410838 1.28396436 158.944702 73.565739
    Unten rechts KachelX + 1 61704 KachelY + 1 12584 2.77420425 1.28396436 158.950195 73.565739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28399149-1.28396436) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dl = 172.84523000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28399149-1.28396436) × R
    2.71300000000974e-05 × 6371000     		dr = 172.84523000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77410838-2.77420425) × cos(1.28399149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282889025090273 × 6371000     		do = 172.785156792358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77410838-2.77420425) × cos(1.28396436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282915046797464 × 6371000     		du = 172.801050532865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28399149)-sin(1.28396436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282889025090273-0.282915046797464)×R²
    abs(2.77420425-2.77410838)×2.60217071908486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60217071908486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60217071908486e-05×40589641000000     		ar = 29866.4637469021m²