Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61702 / 76776
↖ ↑ ↗
← S 29.477861°
W 10.530395°		 ← 265.83 m → S 29.477861°
W 10.527649°		 →
↑
265.93 m
↓
↑
265.93 m
↓
S 29.480252°
W 10.530395°		 ← 265.83 m →
70 691 m²		 S 29.480252°
W 10.527649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470752716064453 y=0.585758209228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470752716064453 × 217)
    floor (0.470752716064453 × 131072)
    floor (61702.5)     		tx = 61702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585758209228516 × 217)
    floor (0.585758209228516 × 131072)
    floor (76776.5)     		ty = 76776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61702 / 76776 ti = "17/61702/76776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61702/76776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61702 ÷ 217
    61702 ÷ 131072     		x = 0.470748901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76776 ÷ 217
    76776 ÷ 131072     		y = 0.58575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470748901367188 × 2 - 1) × π
    -0.058502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18379007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18379007} λ = -0.18379007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538810751729431))-π/2
    2×atan(0.583441696982474)-π/2
    2×0.528155296247713-π/2
    1.05631059249543-1.57079632675     		φ = -0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18379007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.530395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61702 KachelY 76776 -0.18379007 -0.51448573 -10.530395 -29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 61703 KachelY 76776 -0.18374214 -0.51448573 -10.527649 -29.477861
    Unten links KachelX 61702 KachelY + 1 76777 -0.18379007 -0.51452747 -10.530395 -29.480252
    Unten rechts KachelX + 1 61703 KachelY + 1 76777 -0.18374214 -0.51452747 -10.527649 -29.480252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51448573--0.51452747) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dl = 265.925540000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51448573--0.51452747) × R
    4.17400000000123e-05 × 6371000     		dr = 265.925540000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18379007--0.18374214) × cos(-0.51448573) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 265.831664178496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18379007--0.18374214) × cos(-0.51452747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87052536262014 × 6371000     		du = 265.825391896181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51448573)-sin(-0.51452747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.87052536262014)×R²
    abs(-0.18374214--0.18379007)×2.05404788382602e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05404788382602e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05404788382602e-05×40589641000000     		ar = 70690.5948760273m²