Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61702 / 33785
↖ ↑ ↗
← N 65.374849°
W 10.530395°		 ← 127.24 m → N 65.374849°
W 10.527649°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 65.373705°
W 10.530395°		 ← 127.24 m →
16 197 m²		 N 65.373705°
W 10.527649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470752716064453 y=0.257762908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470752716064453 × 217)
    floor (0.470752716064453 × 131072)
    floor (61702.5)     		tx = 61702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257762908935547 × 217)
    floor (0.257762908935547 × 131072)
    floor (33785.5)     		ty = 33785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61702 / 33785 ti = "17/61702/33785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61702/33785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61702 ÷ 217
    61702 ÷ 131072     		x = 0.470748901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33785 ÷ 217
    33785 ÷ 131072     		y = 0.257759094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470748901367188 × 2 - 1) × π
    -0.058502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18379007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257759094238281 × 2 - 1) × π
    0.484481811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.5220444998364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18379007} λ = -0.18379007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5220444998364))-π/2
    2×atan(4.58158267122528)-π/2
    2×1.3559013469385-π/2
    2.71180269387699-1.57079632675     		φ = 1.14100637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18379007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.530395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14100637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.374849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61702 KachelY 33785 -0.18379007 1.14100637 -10.530395 65.374849
    Oben rechts KachelX + 1 61703 KachelY 33785 -0.18374214 1.14100637 -10.527649 65.374849
    Unten links KachelX 61702 KachelY + 1 33786 -0.18379007 1.14098639 -10.530395 65.373705
    Unten rechts KachelX + 1 61703 KachelY + 1 33786 -0.18374214 1.14098639 -10.527649 65.373705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14100637-1.14098639) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14100637-1.14098639) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18379007--0.18374214) × cos(1.14100637) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41667987115544 × 6371000     		do = 127.238211316168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18379007--0.18374214) × cos(1.14098639) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.416698033957014 × 6371000     		du = 127.243757546127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14100637)-sin(1.14098639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41667987115544-0.416698033957014)×R²
    abs(-0.18374214--0.18379007)×1.81628015736846e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81628015736846e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81628015736846e-05×40589641000000     		ar = 16196.8331906271m²