Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61700 / 25348
↖ ↑ ↗
← N 73.425290°
W 10.535889°		 ← 87.13 m → N 73.425290°
W 10.533142°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.424506°
W 10.535889°		 ← 87.13 m →
7 588 m²		 N 73.424506°
W 10.533142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470737457275391 y=0.193393707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470737457275391 × 217)
    floor (0.470737457275391 × 131072)
    floor (61700.5)     		tx = 61700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193393707275391 × 217)
    floor (0.193393707275391 × 131072)
    floor (25348.5)     		ty = 25348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61700 / 25348 ti = "17/61700/25348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61700/25348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61700 ÷ 217
    61700 ÷ 131072     		x = 0.470733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25348 ÷ 217
    25348 ÷ 131072     		y = 0.193389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18388595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193389892578125 × 2 - 1) × π
    0.61322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92648812193082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18388595} λ = -0.18388595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92648812193082))-π/2
    2×atan(6.8653575571214)-π/2
    2×1.42615469497327-π/2
    2.85230938994654-1.57079632675     		φ = 1.28151306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18388595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.535889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28151306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.425290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61700 KachelY 25348 -0.18388595 1.28151306 -10.535889 73.425290
    Oben rechts KachelX + 1 61701 KachelY 25348 -0.18383801 1.28151306 -10.533142 73.425290
    Unten links KachelX 61700 KachelY + 1 25349 -0.18388595 1.28149939 -10.535889 73.424506
    Unten rechts KachelX + 1 61701 KachelY + 1 25349 -0.18383801 1.28149939 -10.533142 73.424506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28151306-1.28149939) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28151306-1.28149939) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18388595--0.18383801) × cos(1.28151306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285265346511718 × 6371000     		do = 87.1273795546912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18388595--0.18383801) × cos(1.28149939) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285278448477164 × 6371000     		du = 87.1313812321829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28151306)-sin(1.28149939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285265346511718-0.285278448477164)×R²
    abs(-0.18383801--0.18388595)×1.31019654457942e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31019654457942e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31019654457942e-05×40589641000000     		ar = 7588.23453165253m²