Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 617 / 653
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
E 36.914062°		 ← 27.959 km → S 44.339565°
E 37.265625°		 →
↑
27.899 km
↓
↑
27.899 km
↓
S 44.590467°
E 36.914062°		 ← 27.839 km →
778.357 km²		 S 44.590467°
E 37.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60302734375 y=0.63818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60302734375 × 210)
    floor (0.60302734375 × 1024)
    floor (617.5)     		tx = 617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63818359375 × 210)
    floor (0.63818359375 × 1024)
    floor (653.5)     		ty = 653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 617 / 653 ti = "10/617/653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/617/653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 617 ÷ 210
    617 ÷ 1024     		x = 0.6025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 653 ÷ 210
    653 ÷ 1024     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6025390625 × 2 - 1) × π
    0.205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.64427193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.64427193} λ = 0.64427193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.64427193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.914062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 617 KachelY 653 0.64427193 -0.77387140 36.914062 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 618 KachelY 653 0.65040785 -0.77387140 37.265625 -44.339565
    Unten links KachelX 617 KachelY + 1 654 0.64427193 -0.77825047 36.914062 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 618 KachelY + 1 654 0.65040785 -0.77825047 37.265625 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77825047) × R
    0.00437907000000004 × 6371000     		dl = 27899.0549700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77825047) × R
    0.00437907000000004 × 6371000     		dr = 27899.0549700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.64427193-0.65040785) × cos(-0.77387140) × R
    0.00613591999999996 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 27958.9618130069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.64427193-0.65040785) × cos(-0.77825047) × R
    0.00613591999999996 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 27839.0503702832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.712142857825438)×R²
    abs(0.65040785-0.64427193)×0.00306742063293786×R²
    0.00613591999999996×0.00306742063293786×6371000²
    0.00613591999999996×0.00306742063293786×40589641000000     		ar = 778357148.390794m²