Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61699 / 76791
↖ ↑ ↗
← S 29.513720°
W 10.538635°		 ← 265.74 m → S 29.513720°
W 10.535889°		 →
↑
265.80 m
↓
↑
265.80 m
↓
S 29.516110°
W 10.538635°		 ← 265.73 m →
70 632 m²		 S 29.516110°
W 10.535889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470729827880859 y=0.585872650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470729827880859 × 217)
    floor (0.470729827880859 × 131072)
    floor (61699.5)     		tx = 61699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585872650146484 × 217)
    floor (0.585872650146484 × 131072)
    floor (76791.5)     		ty = 76791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61699 / 76791 ti = "17/61699/76791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61699/76791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61699 ÷ 217
    61699 ÷ 131072     		x = 0.470726013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76791 ÷ 217
    76791 ÷ 131072     		y = 0.585868835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470726013183594 × 2 - 1) × π
    -0.0585479736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18393388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585868835449219 × 2 - 1) × π
    -0.171737670898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.539529805223732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18393388} λ = -0.18393388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539529805223732))-π/2
    2×atan(0.583022321986136)-π/2
    2×0.527842367098348-π/2
    1.0556847341967-1.57079632675     		φ = -0.51511159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18393388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.538635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51511159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.513720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61699 KachelY 76791 -0.18393388 -0.51511159 -10.538635 -29.513720
    Oben rechts KachelX + 1 61700 KachelY 76791 -0.18388595 -0.51511159 -10.535889 -29.513720
    Unten links KachelX 61699 KachelY + 1 76792 -0.18393388 -0.51515331 -10.538635 -29.516110
    Unten rechts KachelX + 1 61700 KachelY + 1 76792 -0.18388595 -0.51515331 -10.535889 -29.516110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51511159--0.51515331) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dl = 265.798120000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51511159--0.51515331) × R
    4.17200000000228e-05 × 6371000     		dr = 265.798120000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18393388--0.18388595) × cos(-0.51511159) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87023775491579 × 6371000     		do = 265.737567423737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18393388--0.18388595) × cos(-0.51515331) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.870217201552995 × 6371000     		du = 265.73129120715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51511159)-sin(-0.51515331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87023775491579-0.870217201552995)×R²
    abs(-0.18388595--0.18393388)×2.05533627958276e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05533627958276e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05533627958276e-05×40589641000000     		ar = 70631.7117415817m²