Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61698 / 25343
↖ ↑ ↗
← N 73.429207°
W 10.541382°		 ← 87.11 m → N 73.429207°
W 10.538635°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.428424°
W 10.541382°		 ← 87.11 m →
7 586 m²		 N 73.428424°
W 10.538635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470722198486328 y=0.193355560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470722198486328 × 217)
    floor (0.470722198486328 × 131072)
    floor (61698.5)     		tx = 61698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193355560302734 × 217)
    floor (0.193355560302734 × 131072)
    floor (25343.5)     		ty = 25343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61698 / 25343 ti = "17/61698/25343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61698/25343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61698 ÷ 217
    61698 ÷ 131072     		x = 0.470718383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25343 ÷ 217
    25343 ÷ 131072     		y = 0.193351745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470718383789062 × 2 - 1) × π
    -0.058563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18398182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193351745605469 × 2 - 1) × π
    0.613296508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.92672780642892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18398182} λ = -0.18398182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92672780642892))-π/2
    2×atan(6.8670032741203)-π/2
    2×1.42618887788709-π/2
    2.85237775577419-1.57079632675     		φ = 1.28158143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18398182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.541382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28158143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.429207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61698 KachelY 25343 -0.18398182 1.28158143 -10.541382 73.429207
    Oben rechts KachelX + 1 61699 KachelY 25343 -0.18393388 1.28158143 -10.538635 73.429207
    Unten links KachelX 61698 KachelY + 1 25344 -0.18398182 1.28156776 -10.541382 73.428424
    Unten rechts KachelX + 1 61699 KachelY + 1 25344 -0.18393388 1.28156776 -10.538635 73.428424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28158143-1.28156776) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28158143-1.28156776) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18398182--0.18393388) × cos(1.28158143) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285199816715568 × 6371000     		do = 87.10736506821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18398182--0.18393388) × cos(1.28156776) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285212918947603 × 6371000     		du = 87.1113668271251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28158143)-sin(1.28156776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285199816715568-0.285212918947603)×R²
    abs(-0.18393388--0.18398182)×1.3102232035378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.3102232035378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.3102232035378e-05×40589641000000     		ar = 7586.49144224392m²