Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61697 / 78079
↖ ↑ ↗
← S 32.544498°
W 10.544129°		 ← 257.47 m → S 32.544498°
W 10.541382°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
S 32.546813°
W 10.544129°		 ← 257.46 m →
66 284 m²		 S 32.546813°
W 10.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470714569091797 y=0.595699310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470714569091797 × 217)
    floor (0.470714569091797 × 131072)
    floor (61697.5)     		tx = 61697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595699310302734 × 217)
    floor (0.595699310302734 × 131072)
    floor (78079.5)     		ty = 78079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61697 / 78079 ti = "17/61697/78079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61697/78079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61697 ÷ 217
    61697 ÷ 131072     		x = 0.470710754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78079 ÷ 217
    78079 ÷ 131072     		y = 0.595695495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470710754394531 × 2 - 1) × π
    -0.0585784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18402976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595695495605469 × 2 - 1) × π
    -0.191390991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.601272531934364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18402976} λ = -0.18402976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601272531934364))-π/2
    2×atan(0.548113699928358)-π/2
    2×0.501393842467271-π/2
    1.00278768493454-1.57079632675     		φ = -0.56800864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18402976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.544129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56800864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.544498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61697 KachelY 78079 -0.18402976 -0.56800864 -10.544129 -32.544498
    Oben rechts KachelX + 1 61698 KachelY 78079 -0.18398182 -0.56800864 -10.541382 -32.544498
    Unten links KachelX 61697 KachelY + 1 78080 -0.18402976 -0.56804905 -10.544129 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 61698 KachelY + 1 78080 -0.18398182 -0.56804905 -10.541382 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56800864--0.56804905) × R
    4.04100000001018e-05 × 6371000     		dl = 257.452110000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56800864--0.56804905) × R
    4.04100000001018e-05 × 6371000     		dr = 257.452110000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18402976--0.18398182) × cos(-0.56800864) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842973906843837 × 6371000     		do = 257.46592929845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18402976--0.18398182) × cos(-0.56804905) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 257.459289517666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56800864)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842973906843837-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.18398182--0.18402976)×2.17394276724736e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17394276724736e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17394276724736e-05×40589641000000     		ar = 66284.2920473304m²