Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61697 / 34047
↖ ↑ ↗
← N 65.073288°
W 10.544129°		 ← 128.72 m → N 65.073288°
W 10.541382°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.072130°
W 10.544129°		 ← 128.73 m →
16 575 m²		 N 65.072130°
W 10.541382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470714569091797 y=0.259761810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470714569091797 × 217)
    floor (0.470714569091797 × 131072)
    floor (61697.5)     		tx = 61697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259761810302734 × 217)
    floor (0.259761810302734 × 131072)
    floor (34047.5)     		ty = 34047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61697 / 34047 ti = "17/61697/34047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61697/34047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61697 ÷ 217
    61697 ÷ 131072     		x = 0.470710754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34047 ÷ 217
    34047 ÷ 131072     		y = 0.259757995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470710754394531 × 2 - 1) × π
    -0.0585784912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18402976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259757995605469 × 2 - 1) × π
    0.480484008789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.50948503213595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18402976} λ = -0.18402976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50948503213595))-π/2
    2×atan(4.52440027354912)-π/2
    2×1.35326972595832-π/2
    2.70653945191665-1.57079632675     		φ = 1.13574313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18402976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.544129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13574313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.073288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61697 KachelY 34047 -0.18402976 1.13574313 -10.544129 65.073288
    Oben rechts KachelX + 1 61698 KachelY 34047 -0.18398182 1.13574313 -10.541382 65.073288
    Unten links KachelX 61697 KachelY + 1 34048 -0.18402976 1.13572292 -10.544129 65.072130
    Unten rechts KachelX + 1 61698 KachelY + 1 34048 -0.18398182 1.13572292 -10.541382 65.072130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13574313-1.13572292) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13574313-1.13572292) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18402976--0.18398182) × cos(1.13574313) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421458643349989 × 6371000     		do = 128.724318024557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18402976--0.18398182) × cos(1.13572292) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421476970654384 × 6371000     		du = 128.729915655064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13574313)-sin(1.13572292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421458643349989-0.421476970654384)×R²
    abs(-0.18398182--0.18402976)×1.83273043951604e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83273043951604e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83273043951604e-05×40589641000000     		ar = 16574.6345252365m²