Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61696 / 25346
↖ ↑ ↗
← N 73.426857°
W 10.546875°		 ← 87.10 m → N 73.426857°
W 10.544129°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.426074°
W 10.546875°		 ← 87.11 m →
7 586 m²		 N 73.426074°
W 10.544129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470706939697266 y=0.193378448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470706939697266 × 217)
    floor (0.470706939697266 × 131072)
    floor (61696.5)     		tx = 61696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193378448486328 × 217)
    floor (0.193378448486328 × 131072)
    floor (25346.5)     		ty = 25346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61696 / 25346 ti = "17/61696/25346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61696/25346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61696 ÷ 217
    61696 ÷ 131072     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25346 ÷ 217
    25346 ÷ 131072     		y = 0.193374633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193374633789062 × 2 - 1) × π
    0.613250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92658399573006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92658399573006))-π/2
    2×atan(6.866015796587)-π/2
    2×1.42616836908114-π/2
    2.85233673816227-1.57079632675     		φ = 1.28154041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28154041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.426857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61696 KachelY 25346 -0.18407769 1.28154041 -10.546875 73.426857
    Oben rechts KachelX + 1 61697 KachelY 25346 -0.18402976 1.28154041 -10.544129 73.426857
    Unten links KachelX 61696 KachelY + 1 25347 -0.18407769 1.28152674 -10.546875 73.426074
    Unten rechts KachelX + 1 61697 KachelY + 1 25347 -0.18402976 1.28152674 -10.544129 73.426074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28154041-1.28152674) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28154041-1.28152674) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18402976) × cos(1.28154041) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285239132836343 × 6371000     		do = 87.1012006383483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18402976) × cos(1.28152674) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.28525223490844 × 6371000     		du = 87.105201513681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28154041)-sin(1.28152674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285239132836343-0.28525223490844)×R²
    abs(-0.18402976--0.18407769)×1.31020720967601e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31020720967601e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31020720967601e-05×40589641000000     		ar = 7585.95453373256m²