Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61695 / 78081
↖ ↑ ↗
← S 32.549128°
W 10.549621°		 ← 257.45 m → S 32.549128°
W 10.546875°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
S 32.551444°
W 10.549621°		 ← 257.45 m →
66 281 m²		 S 32.551444°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470699310302734 y=0.595714569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470699310302734 × 217)
    floor (0.470699310302734 × 131072)
    floor (61695.5)     		tx = 61695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595714569091797 × 217)
    floor (0.595714569091797 × 131072)
    floor (78081.5)     		ty = 78081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61695 / 78081 ti = "17/61695/78081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61695/78081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61695 ÷ 217
    61695 ÷ 131072     		x = 0.470695495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78081 ÷ 217
    78081 ÷ 131072     		y = 0.595710754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470695495605469 × 2 - 1) × π
    -0.0586090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18412563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595710754394531 × 2 - 1) × π
    -0.191421508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.601368405733604
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18412563} λ = -0.18412563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601368405733604))-π/2
    2×atan(0.548061152704522)-π/2
    2×0.501353433953867-π/2
    1.00270686790773-1.57079632675     		φ = -0.56808946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18412563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.549621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56808946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.549128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61695 KachelY 78081 -0.18412563 -0.56808946 -10.549621 -32.549128
    Oben rechts KachelX + 1 61696 KachelY 78081 -0.18407769 -0.56808946 -10.546875 -32.549128
    Unten links KachelX 61695 KachelY + 1 78082 -0.18412563 -0.56812987 -10.549621 -32.551444
    Unten rechts KachelX + 1 61696 KachelY + 1 78082 -0.18407769 -0.56812987 -10.546875 -32.551444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56808946--0.56812987) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56808946--0.56812987) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18412563--0.18407769) × cos(-0.56808946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.842930426611978 × 6371000     		do = 257.452649316608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18412563--0.18407769) × cos(-0.56812987) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.842908684431314 × 6371000     		du = 257.44600869499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56808946)-sin(-0.56812987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842930426611978-0.842908684431314)×R²
    abs(-0.18407769--0.18412563)×2.17421806648632e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17421806648632e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17421806648632e-05×40589641000000     		ar = 66280.8729797243m²