Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61695 / 34046
↖ ↑ ↗
← N 65.074445°
W 10.549621°		 ← 128.72 m → N 65.074445°
W 10.546875°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 65.073288°
W 10.549621°		 ← 128.72 m →
16 566 m²		 N 65.073288°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470699310302734 y=0.259754180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470699310302734 × 217)
    floor (0.470699310302734 × 131072)
    floor (61695.5)     		tx = 61695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259754180908203 × 217)
    floor (0.259754180908203 × 131072)
    floor (34046.5)     		ty = 34046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61695 / 34046 ti = "17/61695/34046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61695/34046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61695 ÷ 217
    61695 ÷ 131072     		x = 0.470695495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34046 ÷ 217
    34046 ÷ 131072     		y = 0.259750366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470695495605469 × 2 - 1) × π
    -0.0586090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18412563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259750366210938 × 2 - 1) × π
    0.480499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50953296903557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18412563} λ = -0.18412563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50953296903557))-π/2
    2×atan(4.52461716446937)-π/2
    2×1.3532798274492-π/2
    2.70655965489841-1.57079632675     		φ = 1.13576333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18412563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.549621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13576333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.074445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61695 KachelY 34046 -0.18412563 1.13576333 -10.549621 65.074445
    Oben rechts KachelX + 1 61696 KachelY 34046 -0.18407769 1.13576333 -10.546875 65.074445
    Unten links KachelX 61695 KachelY + 1 34047 -0.18412563 1.13574313 -10.549621 65.073288
    Unten rechts KachelX + 1 61696 KachelY + 1 34047 -0.18407769 1.13574313 -10.546875 65.073288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13576333-1.13574313) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13576333-1.13574313) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18412563--0.18407769) × cos(1.13576333) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421440324942013 × 6371000     		do = 128.718723111319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18412563--0.18407769) × cos(1.13574313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421458643349989 × 6371000     		du = 128.724318024631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13576333)-sin(1.13574313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421440324942013-0.421458643349989)×R²
    abs(-0.18407769--0.18412563)×1.83184079761145e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83184079761145e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83184079761145e-05×40589641000000     		ar = 16565.7131129015m²