Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61693 / 40370
↖ ↑ ↗
← N 56.677356°
W 10.555115°		 ← 167.79 m → N 56.677356°
W 10.552368°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.675847°
W 10.555115°		 ← 167.79 m →
28 157 m²		 N 56.675847°
W 10.552368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470684051513672 y=0.308002471923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470684051513672 × 217)
    floor (0.470684051513672 × 131072)
    floor (61693.5)     		tx = 61693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308002471923828 × 217)
    floor (0.308002471923828 × 131072)
    floor (40370.5)     		ty = 40370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61693 / 40370 ti = "17/61693/40370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61693/40370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61693 ÷ 217
    61693 ÷ 131072     		x = 0.470680236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40370 ÷ 217
    40370 ÷ 131072     		y = 0.307998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470680236816406 × 2 - 1) × π
    -0.0586395263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18422151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307998657226562 × 2 - 1) × π
    0.384002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20638001583833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18422151} λ = -0.18422151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20638001583833))-π/2
    2×atan(3.34136703724087)-π/2
    2×1.28000140210266-π/2
    2.56000280420531-1.57079632675     		φ = 0.98920648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18422151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.555115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98920648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.677356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61693 KachelY 40370 -0.18422151 0.98920648 -10.555115 56.677356
    Oben rechts KachelX + 1 61694 KachelY 40370 -0.18417357 0.98920648 -10.552368 56.677356
    Unten links KachelX 61693 KachelY + 1 40371 -0.18422151 0.98918014 -10.555115 56.675847
    Unten rechts KachelX + 1 61694 KachelY + 1 40371 -0.18417357 0.98918014 -10.552368 56.675847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98920648-0.98918014) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98920648-0.98918014) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18422151--0.18417357) × cos(0.98920648) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549353091098647 × 6371000     		do = 167.786574370079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18422151--0.18417357) × cos(0.98918014) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549375100357079 × 6371000     		du = 167.793296564122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98920648)-sin(0.98918014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549353091098647-0.549375100357079)×R²
    abs(-0.18417357--0.18422151)×2.20092584320986e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20092584320986e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20092584320986e-05×40589641000000     		ar = 28157.1881428834m²