Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61692 / 40380
↖ ↑ ↗
← N 56.662265°
W 10.557861°		 ← 167.82 m → N 56.662265°
W 10.555115°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.660755°
W 10.557861°		 ← 167.83 m →
28 163 m²		 N 56.660755°
W 10.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470676422119141 y=0.308078765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470676422119141 × 217)
    floor (0.470676422119141 × 131072)
    floor (61692.5)     		tx = 61692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308078765869141 × 217)
    floor (0.308078765869141 × 131072)
    floor (40380.5)     		ty = 40380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61692 / 40380 ti = "17/61692/40380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61692/40380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61692 ÷ 217
    61692 ÷ 131072     		x = 0.470672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40380 ÷ 217
    40380 ÷ 131072     		y = 0.308074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308074951171875 × 2 - 1) × π
    0.38385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20590064684213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18426944} λ = -0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20590064684213))-π/2
    2×atan(3.33976567333106)-π/2
    2×1.27986970430932-π/2
    2.55973940861865-1.57079632675     		φ = 0.98894308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98894308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.662265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61692 KachelY 40380 -0.18426944 0.98894308 -10.557861 56.662265
    Oben rechts KachelX + 1 61693 KachelY 40380 -0.18422151 0.98894308 -10.555115 56.662265
    Unten links KachelX 61692 KachelY + 1 40381 -0.18426944 0.98891674 -10.557861 56.660755
    Unten rechts KachelX + 1 61693 KachelY + 1 40381 -0.18422151 0.98891674 -10.555115 56.660755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98894308-0.98891674) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98894308-0.98891674) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18426944--0.18422151) × cos(0.98894308) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549573166529204 × 6371000     		do = 167.818777764891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18426944--0.18422151) × cos(0.98891674) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549595171975409 × 6371000     		du = 167.825497392615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98894308)-sin(0.98891674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549573166529204-0.549595171975409)×R²
    abs(-0.18422151--0.18426944)×2.20054462046759e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20054462046759e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20054462046759e-05×40589641000000     		ar = 28162.5920481762m²