Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61692 / 25340
↖ ↑ ↗
← N 73.431557°
W 10.557861°		 ← 87.08 m → N 73.431557°
W 10.555115°		 →
↑
87.09 m
↓
↑
87.09 m
↓
N 73.430774°
W 10.557861°		 ← 87.08 m →
7 584 m²		 N 73.430774°
W 10.555115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470676422119141 y=0.193332672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470676422119141 × 217)
    floor (0.470676422119141 × 131072)
    floor (61692.5)     		tx = 61692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193332672119141 × 217)
    floor (0.193332672119141 × 131072)
    floor (25340.5)     		ty = 25340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61692 / 25340 ti = "17/61692/25340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61692/25340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61692 ÷ 217
    61692 ÷ 131072     		x = 0.470672607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25340 ÷ 217
    25340 ÷ 131072     		y = 0.193328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193328857421875 × 2 - 1) × π
    0.61334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92687161712778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18426944} λ = -0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92687161712778))-π/2
    2×atan(6.86799089367366)-π/2
    2×1.42620938386635-π/2
    2.85241876773271-1.57079632675     		φ = 1.28162244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28162244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.431557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61692 KachelY 25340 -0.18426944 1.28162244 -10.557861 73.431557
    Oben rechts KachelX + 1 61693 KachelY 25340 -0.18422151 1.28162244 -10.555115 73.431557
    Unten links KachelX 61692 KachelY + 1 25341 -0.18426944 1.28160877 -10.557861 73.430774
    Unten rechts KachelX + 1 61693 KachelY + 1 25341 -0.18422151 1.28160877 -10.555115 73.430774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28162244-1.28160877) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dl = 87.0915699997812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28162244-1.28160877) × R
    1.36699999999657e-05 × 6371000     		dr = 87.0915699997812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18426944--0.18422151) × cos(1.28162244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285160509699702 × 6371000     		do = 87.0771921177384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18426944--0.18422151) × cos(1.28160877) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.285173612091615 × 6371000     		du = 87.0811930907308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28162244)-sin(1.28160877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285160509699702-0.285173612091615)×R²
    abs(-0.18422151--0.18426944)×1.31023919129891e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31023919129891e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31023919129891e-05×40589641000000     		ar = 7583.86359832145m²