Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61690 / 78102
↖ ↑ ↗
← S 32.597734°
W 10.563355°		 ← 257.31 m → S 32.597734°
W 10.560608°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
S 32.600048°
W 10.563355°		 ← 257.31 m →
66 196 m²		 S 32.600048°
W 10.560608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470661163330078 y=0.595874786376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470661163330078 × 217)
    floor (0.470661163330078 × 131072)
    floor (61690.5)     		tx = 61690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595874786376953 × 217)
    floor (0.595874786376953 × 131072)
    floor (78102.5)     		ty = 78102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61690 / 78102 ti = "17/61690/78102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61690/78102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61690 ÷ 217
    61690 ÷ 131072     		x = 0.470657348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78102 ÷ 217
    78102 ÷ 131072     		y = 0.595870971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470657348632812 × 2 - 1) × π
    -0.058685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18436532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595870971679688 × 2 - 1) × π
    -0.191741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.602375080625626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18436532} λ = -0.18436532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602375080625626))-π/2
    2×atan(0.547509710910675)-π/2
    2×0.500929270433148-π/2
    1.0018585408663-1.57079632675     		φ = -0.56893779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18436532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56893779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.597734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61690 KachelY 78102 -0.18436532 -0.56893779 -10.563355 -32.597734
    Oben rechts KachelX + 1 61691 KachelY 78102 -0.18431738 -0.56893779 -10.560608 -32.597734
    Unten links KachelX 61690 KachelY + 1 78103 -0.18436532 -0.56897817 -10.563355 -32.600048
    Unten rechts KachelX + 1 61691 KachelY + 1 78103 -0.18431738 -0.56897817 -10.560608 -32.600048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56893779--0.56897817) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56893779--0.56897817) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18436532--0.18431738) × cos(-0.56893779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842473702658748 × 6371000     		do = 257.313154065068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18436532--0.18431738) × cos(-0.56897817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842451947752917 × 6371000     		du = 257.306509556856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56893779)-sin(-0.56897817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842473702658748-0.842451947752917)×R²
    abs(-0.18431738--0.18436532)×2.17549058311173e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17549058311173e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17549058311173e-05×40589641000000     		ar = 66195.7795040623m²