Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61690 / 40742
↖ ↑ ↗
← N 56.111873°
W 10.563355°		 ← 170.30 m → N 56.111873°
W 10.560608°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
N 56.110341°
W 10.563355°		 ← 170.30 m →
29 002 m²		 N 56.110341°
W 10.560608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470661163330078 y=0.310840606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470661163330078 × 217)
    floor (0.470661163330078 × 131072)
    floor (61690.5)     		tx = 61690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310840606689453 × 217)
    floor (0.310840606689453 × 131072)
    floor (40742.5)     		ty = 40742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61690 / 40742 ti = "17/61690/40742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61690/40742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61690 ÷ 217
    61690 ÷ 131072     		x = 0.470657348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40742 ÷ 217
    40742 ÷ 131072     		y = 0.310836791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470657348632812 × 2 - 1) × π
    -0.058685302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18436532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310836791992188 × 2 - 1) × π
    0.378326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18854748917967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18436532} λ = -0.18436532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18854748917967))-π/2
    2×atan(3.28231015220556)-π/2
    2×1.2750666300469-π/2
    2.55013326009381-1.57079632675     		φ = 0.97933693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18436532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.563355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97933693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.111873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61690 KachelY 40742 -0.18436532 0.97933693 -10.563355 56.111873
    Oben rechts KachelX + 1 61691 KachelY 40742 -0.18431738 0.97933693 -10.560608 56.111873
    Unten links KachelX 61690 KachelY + 1 40743 -0.18436532 0.97931020 -10.563355 56.110341
    Unten rechts KachelX + 1 61691 KachelY + 1 40743 -0.18431738 0.97931020 -10.560608 56.110341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97933693-0.97931020) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97933693-0.97931020) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18436532--0.18431738) × cos(0.97933693) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557573102166547 × 6371000     		do = 170.2971773333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18436532--0.18431738) × cos(0.97931020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557595291284597 × 6371000     		du = 170.303954461101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97933693)-sin(0.97931020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557573102166547-0.557595291284597)×R²
    abs(-0.18431738--0.18436532)×2.21891180499645e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21891180499645e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21891180499645e-05×40589641000000     		ar = 29001.6465210272m²