Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61690 / 13178
↖ ↑ ↗
← N 72.616970°
E158.873291°		 ← 182.50 m → N 72.616970°
E158.878784°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 72.615329°
E158.873291°		 ← 182.51 m →
33 313 m²		 N 72.615329°
E158.878784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941322326660156 y=0.201087951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941322326660156 × 216)
    floor (0.941322326660156 × 65536)
    floor (61690.5)     		tx = 61690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201087951660156 × 216)
    floor (0.201087951660156 × 65536)
    floor (13178.5)     		ty = 13178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61690 / 13178 ti = "16/61690/13178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61690/13178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61690 ÷ 216
    61690 ÷ 65536     		x = 0.941314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13178 ÷ 216
    13178 ÷ 65536     		y = 0.201080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941314697265625 × 2 - 1) × π
    0.88262939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77286202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201080322265625 × 2 - 1) × π
    0.59783935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8781677271138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77286202} λ = 2.77286202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8781677271138))-π/2
    2×atan(6.54150804699851)-π/2
    2×1.41910077190533-π/2
    2.83820154381065-1.57079632675     		φ = 1.26740522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77286202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.873291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26740522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.616970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61690 KachelY 13178 2.77286202 1.26740522 158.873291 72.616970
    Oben rechts KachelX + 1 61691 KachelY 13178 2.77295790 1.26740522 158.878784 72.616970
    Unten links KachelX 61690 KachelY + 1 13179 2.77286202 1.26737657 158.873291 72.615329
    Unten rechts KachelX + 1 61691 KachelY + 1 13179 2.77295790 1.26737657 158.878784 72.615329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26740522-1.26737657) × R
    2.86500000001855e-05 × 6371000     		dl = 182.529150001182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26740522-1.26737657) × R
    2.86500000001855e-05 × 6371000     		dr = 182.529150001182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77286202-2.77295790) × cos(1.26740522) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.298758149330679 × 6371000     		do = 182.496857681432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77286202-2.77295790) × cos(1.26737657) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.298785490729828 × 6371000     		du = 182.513559215568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26740522)-sin(1.26737657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298758149330679-0.298785490729828)×R²
    abs(2.77295790-2.77286202)×2.73413991493388e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.73413991493388e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.73413991493388e-05×40589641000000     		ar = 33312.5205710282m²