Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61689 / 40697
↖ ↑ ↗
← N 56.180725°
W 10.566101°		 ← 169.96 m → N 56.180725°
W 10.563355°		 →
↑
169.98 m
↓
↑
169.98 m
↓
N 56.179196°
W 10.566101°		 ← 169.96 m →
28 890 m²		 N 56.179196°
W 10.563355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470653533935547 y=0.310497283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470653533935547 × 217)
    floor (0.470653533935547 × 131072)
    floor (61689.5)     		tx = 61689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310497283935547 × 217)
    floor (0.310497283935547 × 131072)
    floor (40697.5)     		ty = 40697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61689 / 40697 ti = "17/61689/40697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61689/40697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61689 ÷ 217
    61689 ÷ 131072     		x = 0.470649719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40697 ÷ 217
    40697 ÷ 131072     		y = 0.310493469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470649719238281 × 2 - 1) × π
    -0.0587005615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18441325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310493469238281 × 2 - 1) × π
    0.379013061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19070464966257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18441325} λ = -0.18441325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19070464966257))-π/2
    2×atan(3.28939826430757)-π/2
    2×1.27566747909385-π/2
    2.55133495818769-1.57079632675     		φ = 0.98053863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18441325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.566101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98053863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.180725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61689 KachelY 40697 -0.18441325 0.98053863 -10.566101 56.180725
    Oben rechts KachelX + 1 61690 KachelY 40697 -0.18436532 0.98053863 -10.563355 56.180725
    Unten links KachelX 61689 KachelY + 1 40698 -0.18441325 0.98051195 -10.566101 56.179196
    Unten rechts KachelX + 1 61690 KachelY + 1 40698 -0.18436532 0.98051195 -10.563355 56.179196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98053863-0.98051195) × R
    2.66799999999456e-05 × 6371000     		dl = 169.978279999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98053863-0.98051195) × R
    2.66799999999456e-05 × 6371000     		dr = 169.978279999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18441325--0.18436532) × cos(0.98053863) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556575135186857 × 6371000     		do = 169.956913128189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18441325--0.18436532) × cos(0.98051195) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.556597300660168 × 6371000     		du = 169.963681622115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98053863)-sin(0.98051195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556575135186857-0.556597300660168)×R²
    abs(-0.18436532--0.18441325)×2.2165473311242e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2165473311242e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2165473311242e-05×40589641000000     		ar = 28889.5590178395m²