Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61689 / 13179
↖ ↑ ↗
← N 72.615329°
E158.867798°		 ← 182.49 m → N 72.615329°
E158.873291°		 →
↑
182.47 m
↓
↑
182.47 m
↓
N 72.613688°
E158.867798°		 ← 182.51 m →
33 300 m²		 N 72.613688°
E158.873291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941307067871094 y=0.201103210449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941307067871094 × 216)
    floor (0.941307067871094 × 65536)
    floor (61689.5)     		tx = 61689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201103210449219 × 216)
    floor (0.201103210449219 × 65536)
    floor (13179.5)     		ty = 13179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61689 / 13179 ti = "16/61689/13179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61689/13179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61689 ÷ 216
    61689 ÷ 65536     		x = 0.941299438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13179 ÷ 216
    13179 ÷ 65536     		y = 0.201095581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941299438476562 × 2 - 1) × π
    0.882598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77276615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201095581054688 × 2 - 1) × π
    0.597808837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87807185331456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77276615} λ = 2.77276615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87807185331456))-π/2
    2×atan(6.54088091783239)-π/2
    2×1.41908644971058-π/2
    2.83817289942116-1.57079632675     		φ = 1.26737657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77276615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.867798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26737657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.615329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61689 KachelY 13179 2.77276615 1.26737657 158.867798 72.615329
    Oben rechts KachelX + 1 61690 KachelY 13179 2.77286202 1.26737657 158.873291 72.615329
    Unten links KachelX 61689 KachelY + 1 13180 2.77276615 1.26734793 158.867798 72.613688
    Unten rechts KachelX + 1 61690 KachelY + 1 13180 2.77286202 1.26734793 158.873291 72.613688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26737657-1.26734793) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dl = 182.465440000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26737657-1.26734793) × R
    2.86400000000242e-05 × 6371000     		dr = 182.465440000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77276615-2.77286202) × cos(1.26737657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298785490729828 × 6371000     		do = 182.494523591224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77276615-2.77286202) × cos(1.26734793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29881282234061 × 6371000     		du = 182.511217404824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26737657)-sin(1.26734793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298785490729828-0.29881282234061)×R²
    abs(2.77286202-2.77276615)×2.73316107819999e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73316107819999e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73316107819999e-05×40589641000000     		ar = 33300.4665691238m²