Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61687 / 76737
↖ ↑ ↗
← S 29.384569°
W 10.571594°		 ← 266.13 m → S 29.384569°
W 10.568848°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
S 29.386962°
W 10.571594°		 ← 266.13 m →
70 821 m²		 S 29.386962°
W 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470638275146484 y=0.585460662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470638275146484 × 217)
    floor (0.470638275146484 × 131072)
    floor (61687.5)     		tx = 61687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585460662841797 × 217)
    floor (0.585460662841797 × 131072)
    floor (76737.5)     		ty = 76737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61687 / 76737 ti = "17/61687/76737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61687/76737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61687 ÷ 217
    61687 ÷ 131072     		x = 0.470634460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76737 ÷ 217
    76737 ÷ 131072     		y = 0.585456848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470634460449219 × 2 - 1) × π
    -0.0587310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18450913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585456848144531 × 2 - 1) × π
    -0.170913696289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.536941212644249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18450913} λ = -0.18450913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536941212644249))-π/2
    2×atan(0.584533484290431)-π/2
    2×0.528969430116391-π/2
    1.05793886023278-1.57079632675     		φ = -0.51285747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18450913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.571594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51285747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.384569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61687 KachelY 76737 -0.18450913 -0.51285747 -10.571594 -29.384569
    Oben rechts KachelX + 1 61688 KachelY 76737 -0.18446119 -0.51285747 -10.568848 -29.384569
    Unten links KachelX 61687 KachelY + 1 76738 -0.18450913 -0.51289924 -10.571594 -29.386962
    Unten rechts KachelX + 1 61688 KachelY + 1 76738 -0.18446119 -0.51289924 -10.568848 -29.386962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51285747--0.51289924) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51285747--0.51289924) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18450913--0.18446119) × cos(-0.51285747) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.871345994670577 × 6371000     		do = 266.131495218277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18450913--0.18446119) × cos(-0.51289924) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.871325498662489 × 6371000     		du = 266.125235209839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51285747)-sin(-0.51289924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871345994670577-0.871325498662489)×R²
    abs(-0.18446119--0.18450913)×2.04960080882888e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04960080882888e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04960080882888e-05×40589641000000     		ar = 70821.1943534785m²