Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61687 / 25359
↖ ↑ ↗
← N 73.416669°
W 10.571594°		 ← 87.17 m → N 73.416669°
W 10.568848°		 →
↑
87.16 m
↓
↑
87.16 m
↓
N 73.415885°
W 10.571594°		 ← 87.18 m →
7 598 m²		 N 73.415885°
W 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470638275146484 y=0.193477630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470638275146484 × 217)
    floor (0.470638275146484 × 131072)
    floor (61687.5)     		tx = 61687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193477630615234 × 217)
    floor (0.193477630615234 × 131072)
    floor (25359.5)     		ty = 25359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61687 / 25359 ti = "17/61687/25359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61687/25359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61687 ÷ 217
    61687 ÷ 131072     		x = 0.470634460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25359 ÷ 217
    25359 ÷ 131072     		y = 0.193473815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470634460449219 × 2 - 1) × π
    -0.0587310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18450913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193473815917969 × 2 - 1) × π
    0.613052368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.925960816035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18450913} λ = -0.18450913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.925960816035))-π/2
    2×atan(6.86173836789838)-π/2
    2×1.42607946491594-π/2
    2.85215892983187-1.57079632675     		φ = 1.28136260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18450913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.571594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28136260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.416669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61687 KachelY 25359 -0.18450913 1.28136260 -10.571594 73.416669
    Oben rechts KachelX + 1 61688 KachelY 25359 -0.18446119 1.28136260 -10.568848 73.416669
    Unten links KachelX 61687 KachelY + 1 25360 -0.18450913 1.28134892 -10.571594 73.415885
    Unten rechts KachelX + 1 61688 KachelY + 1 25360 -0.18446119 1.28134892 -10.568848 73.415885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28136260-1.28134892) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dl = 87.1552800008086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28136260-1.28134892) × R
    1.36800000001269e-05 × 6371000     		dr = 87.1552800008086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18450913--0.18446119) × cos(1.28136260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285409551455696 × 6371000     		do = 87.1714234564172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18450913--0.18446119) × cos(1.28134892) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.285422662418267 × 6371000     		du = 87.1754278818627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28136260)-sin(1.28134892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285409551455696-0.285422662418267)×R²
    abs(-0.18446119--0.18450913)×1.31109625712278e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31109625712278e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31109625712278e-05×40589641000000     		ar = 7597.62432294926m²