Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61686 / 33832
↖ ↑ ↗
← N 65.321005°
W 10.574341°		 ← 127.50 m → N 65.321005°
W 10.571594°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 65.319859°
W 10.574341°		 ← 127.50 m →
16 254 m²		 N 65.319859°
W 10.571594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470630645751953 y=0.258121490478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470630645751953 × 217)
    floor (0.470630645751953 × 131072)
    floor (61686.5)     		tx = 61686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258121490478516 × 217)
    floor (0.258121490478516 × 131072)
    floor (33832.5)     		ty = 33832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61686 / 33832 ti = "17/61686/33832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61686/33832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61686 ÷ 217
    61686 ÷ 131072     		x = 0.470626831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33832 ÷ 217
    33832 ÷ 131072     		y = 0.25811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470626831054688 × 2 - 1) × π
    -0.058746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18455706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25811767578125 × 2 - 1) × π
    0.4837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51979146555426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18455706} λ = -0.18455706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51979146555426))-π/2
    2×atan(4.57127182810368)-π/2
    2×1.35543146896645-π/2
    2.71086293793291-1.57079632675     		φ = 1.14006661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18455706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.574341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14006661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.321005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61686 KachelY 33832 -0.18455706 1.14006661 -10.574341 65.321005
    Oben rechts KachelX + 1 61687 KachelY 33832 -0.18450913 1.14006661 -10.571594 65.321005
    Unten links KachelX 61686 KachelY + 1 33833 -0.18455706 1.14004660 -10.574341 65.319859
    Unten rechts KachelX + 1 61687 KachelY + 1 33833 -0.18450913 1.14004660 -10.571594 65.319859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14006661-1.14004660) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14006661-1.14004660) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18455706--0.18450913) × cos(1.14006661) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417533978954816 × 6371000     		do = 127.499023407624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18455706--0.18450913) × cos(1.14004660) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417552161184039 × 6371000     		du = 127.504575570049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14006661)-sin(1.14004660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417533978954816-0.417552161184039)×R²
    abs(-0.18450913--0.18455706)×1.81822292230627e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81822292230627e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81822292230627e-05×40589641000000     		ar = 16254.4024310902m²