Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61685 / 76626
↖ ↑ ↗
← S 29.118575°
W 10.577087°		 ← 266.82 m → S 29.118575°
W 10.574341°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.120974°
W 10.577087°		 ← 266.82 m →
71 176 m²		 S 29.120974°
W 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470623016357422 y=0.584613800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470623016357422 × 217)
    floor (0.470623016357422 × 131072)
    floor (61685.5)     		tx = 61685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584613800048828 × 217)
    floor (0.584613800048828 × 131072)
    floor (76626.5)     		ty = 76626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61685 / 76626 ti = "17/61685/76626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61685/76626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61685 ÷ 217
    61685 ÷ 131072     		x = 0.470619201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76626 ÷ 217
    76626 ÷ 131072     		y = 0.584609985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470619201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0587615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18460500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.169219970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531620216786423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18460500} λ = -0.18460500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531620216786423))-π/2
    2×atan(0.587652074183003)-π/2
    2×0.531290664890497-π/2
    1.06258132978099-1.57079632675     		φ = -0.50821500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18460500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.577087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50821500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.118575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61685 KachelY 76626 -0.18460500 -0.50821500 -10.577087 -29.118575
    Oben rechts KachelX + 1 61686 KachelY 76626 -0.18455706 -0.50821500 -10.574341 -29.118575
    Unten links KachelX 61685 KachelY + 1 76627 -0.18460500 -0.50825687 -10.577087 -29.120974
    Unten rechts KachelX + 1 61686 KachelY + 1 76627 -0.18455706 -0.50825687 -10.574341 -29.120974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50821500--0.50825687) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50821500--0.50825687) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(-0.50821500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873614513188878 × 6371000     		do = 266.824359165432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(-0.50825687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873594137701455 × 6371000     		du = 266.818135967108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50821500)-sin(-0.50825687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873614513188878-0.873594137701455)×R²
    abs(-0.18455706--0.18460500)×2.03754874226192e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03754874226192e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03754874226192e-05×40589641000000     		ar = 71175.5737147921m²