Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61685 / 40941
↖ ↑ ↗
← N 55.805912°
W 10.577087°		 ← 171.65 m → N 55.805912°
W 10.574341°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.804368°
W 10.577087°		 ← 171.66 m →
29 472 m²		 N 55.804368°
W 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470623016357422 y=0.312358856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470623016357422 × 217)
    floor (0.470623016357422 × 131072)
    floor (61685.5)     		tx = 61685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312358856201172 × 217)
    floor (0.312358856201172 × 131072)
    floor (40941.5)     		ty = 40941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61685 / 40941 ti = "17/61685/40941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61685/40941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61685 ÷ 217
    61685 ÷ 131072     		x = 0.470619201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40941 ÷ 217
    40941 ÷ 131072     		y = 0.312355041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470619201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0587615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18460500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312355041503906 × 2 - 1) × π
    0.375289916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.17900804615528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18460500} λ = -0.18460500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17900804615528))-π/2
    2×atan(3.25114761446493)-π/2
    2×1.27239661634527-π/2
    2.54479323269055-1.57079632675     		φ = 0.97399691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18460500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.577087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97399691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.805912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61685 KachelY 40941 -0.18460500 0.97399691 -10.577087 55.805912
    Oben rechts KachelX + 1 61686 KachelY 40941 -0.18455706 0.97399691 -10.574341 55.805912
    Unten links KachelX 61685 KachelY + 1 40942 -0.18460500 0.97396996 -10.577087 55.804368
    Unten rechts KachelX + 1 61686 KachelY + 1 40942 -0.18455706 0.97396996 -10.574341 55.804368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97399691-0.97396996) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97399691-0.97396996) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(0.97399691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561998030576419 × 6371000     		do = 171.648664367332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(0.97396996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562020321756781 × 6371000     		du = 171.65547266759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97399691)-sin(0.97396996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561998030576419-0.562020321756781)×R²
    abs(-0.18455706--0.18460500)×2.22911803627879e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22911803627879e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22911803627879e-05×40589641000000     		ar = 29472.394105481m²