Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61685 / 33831
↖ ↑ ↗
← N 65.322152°
W 10.577087°		 ← 127.52 m → N 65.322152°
W 10.574341°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 65.321005°
W 10.577087°		 ← 127.53 m →
16 265 m²		 N 65.321005°
W 10.574341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470623016357422 y=0.258113861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470623016357422 × 217)
    floor (0.470623016357422 × 131072)
    floor (61685.5)     		tx = 61685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258113861083984 × 217)
    floor (0.258113861083984 × 131072)
    floor (33831.5)     		ty = 33831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61685 / 33831 ti = "17/61685/33831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61685/33831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61685 ÷ 217
    61685 ÷ 131072     		x = 0.470619201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33831 ÷ 217
    33831 ÷ 131072     		y = 0.258110046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470619201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0587615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18460500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258110046386719 × 2 - 1) × π
    0.483779907226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.51983940245388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18460500} λ = -0.18460500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51983940245388))-π/2
    2×atan(4.57149096595479)-π/2
    2×1.35544147639069-π/2
    2.71088295278139-1.57079632675     		φ = 1.14008663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18460500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.577087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14008663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.322152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61685 KachelY 33831 -0.18460500 1.14008663 -10.577087 65.322152
    Oben rechts KachelX + 1 61686 KachelY 33831 -0.18455706 1.14008663 -10.574341 65.322152
    Unten links KachelX 61685 KachelY + 1 33832 -0.18460500 1.14006661 -10.577087 65.321005
    Unten rechts KachelX + 1 61686 KachelY + 1 33832 -0.18455706 1.14006661 -10.574341 65.321005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14008663-1.14006661) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14008663-1.14006661) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(1.14008663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417515787471715 × 6371000     		do = 127.520068350222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18460500--0.18455706) × cos(1.14006661) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417533978954816 × 6371000     		du = 127.525624497409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14008663)-sin(1.14006661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417515787471715-0.417533978954816)×R²
    abs(-0.18455706--0.18460500)×1.81914831002827e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81914831002827e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81914831002827e-05×40589641000000     		ar = 16265.2100529269m²