Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61685 / 12573
↖ ↑ ↗
← N 73.582826°
E158.845825°		 ← 172.64 m → N 73.582826°
E158.851319°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
N 73.581273°
E158.845825°		 ← 172.66 m →
29 809 m²		 N 73.581273°
E158.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941246032714844 y=0.191856384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941246032714844 × 216)
    floor (0.941246032714844 × 65536)
    floor (61685.5)     		tx = 61685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191856384277344 × 216)
    floor (0.191856384277344 × 65536)
    floor (12573.5)     		ty = 12573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61685 / 12573 ti = "16/61685/12573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61685/12573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61685 ÷ 216
    61685 ÷ 65536     		x = 0.941238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12573 ÷ 216
    12573 ÷ 65536     		y = 0.191848754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941238403320312 × 2 - 1) × π
    0.882476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77238265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191848754882812 × 2 - 1) × π
    0.616302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93617137565407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77238265} λ = 2.77238265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93617137565407))-π/2
    2×atan(6.93215946418064)-π/2
    2×1.42752945221806-π/2
    2.85505890443612-1.57079632675     		φ = 1.28426258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77238265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.845825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28426258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.582826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61685 KachelY 12573 2.77238265 1.28426258 158.845825 73.582826
    Oben rechts KachelX + 1 61686 KachelY 12573 2.77247853 1.28426258 158.851319 73.582826
    Unten links KachelX 61685 KachelY + 1 12574 2.77238265 1.28423548 158.845825 73.581273
    Unten rechts KachelX + 1 61686 KachelY + 1 12574 2.77247853 1.28423548 158.851319 73.581273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28426258-1.28423548) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dl = 172.654100000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28426258-1.28423548) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dr = 172.654100000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77238265-2.77247853) × cos(1.28426258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.282628998007764 × 6371000     		do = 172.644341723846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77238265-2.77247853) × cos(1.28423548) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.282654993018001 × 6371000     		du = 172.660220814322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28426258)-sin(1.28423548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282628998007764-0.282654993018001)×R²
    abs(2.77247853-2.77238265)×2.59950102371453e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.59950102371453e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.59950102371453e-05×40589641000000     		ar = 29809.1242370282m²