Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61684 / 78110
↖ ↑ ↗
← S 32.616244°
W 10.579834°		 ← 257.26 m → S 32.616244°
W 10.577087°		 →
↑
257.20 m
↓
↑
257.20 m
↓
S 32.618557°
W 10.579834°		 ← 257.25 m →
66 166 m²		 S 32.618557°
W 10.577087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470615386962891 y=0.595935821533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470615386962891 × 217)
    floor (0.470615386962891 × 131072)
    floor (61684.5)     		tx = 61684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595935821533203 × 217)
    floor (0.595935821533203 × 131072)
    floor (78110.5)     		ty = 78110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61684 / 78110 ti = "17/61684/78110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61684/78110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61684 ÷ 217
    61684 ÷ 131072     		x = 0.470611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78110 ÷ 217
    78110 ÷ 131072     		y = 0.595932006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595932006835938 × 2 - 1) × π
    -0.191864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.602758575822586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18465294} λ = -0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602758575822586))-π/2
    2×atan(0.54729978382184)-π/2
    2×0.500767744812702-π/2
    1.0015354896254-1.57079632675     		φ = -0.56926084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56926084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.616244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61684 KachelY 78110 -0.18465294 -0.56926084 -10.579834 -32.616244
    Oben rechts KachelX + 1 61685 KachelY 78110 -0.18460500 -0.56926084 -10.577087 -32.616244
    Unten links KachelX 61684 KachelY + 1 78111 -0.18465294 -0.56930121 -10.579834 -32.618557
    Unten rechts KachelX + 1 61685 KachelY + 1 78111 -0.18460500 -0.56930121 -10.577087 -32.618557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56926084--0.56930121) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dl = 257.197270000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56926084--0.56930121) × R
    4.03700000000118e-05 × 6371000     		dr = 257.197270000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18465294--0.18460500) × cos(-0.56926084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842299619561642 × 6371000     		do = 257.259984606313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18465294--0.18460500) × cos(-0.56930121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.842277859057658 × 6371000     		du = 257.253338388281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56926084)-sin(-0.56930121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842299619561642-0.842277859057658)×R²
    abs(-0.18460500--0.18465294)×2.17605039841695e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.17605039841695e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.17605039841695e-05×40589641000000     		ar = 66165.7110354256m²