Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61684 / 12597
↖ ↑ ↗
← N 73.545524°
E158.840332°		 ← 173.01 m → N 73.545524°
E158.845825°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 73.543968°
E158.840332°		 ← 173.02 m →
29 938 m²		 N 73.543968°
E158.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941230773925781 y=0.192222595214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941230773925781 × 216)
    floor (0.941230773925781 × 65536)
    floor (61684.5)     		tx = 61684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192222595214844 × 216)
    floor (0.192222595214844 × 65536)
    floor (12597.5)     		ty = 12597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61684 / 12597 ti = "16/61684/12597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61684/12597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61684 ÷ 216
    61684 ÷ 65536     		x = 0.94122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12597 ÷ 216
    12597 ÷ 65536     		y = 0.192214965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94122314453125 × 2 - 1) × π
    0.8824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77228678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192214965820312 × 2 - 1) × π
    0.615570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93387040447231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77228678} λ = 2.77228678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93387040447231))-π/2
    2×atan(6.91622710200874)-π/2
    2×1.42720393254395-π/2
    2.85440786508791-1.57079632675     		φ = 1.28361154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77228678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28361154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.545524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61684 KachelY 12597 2.77228678 1.28361154 158.840332 73.545524
    Oben rechts KachelX + 1 61685 KachelY 12597 2.77238265 1.28361154 158.845825 73.545524
    Unten links KachelX 61684 KachelY + 1 12598 2.77228678 1.28358438 158.840332 73.543968
    Unten rechts KachelX + 1 61685 KachelY + 1 12598 2.77238265 1.28358438 158.845825 73.543968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28361154-1.28358438) × R
    2.71600000001371e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28361154-1.28358438) × R
    2.71600000001371e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77228678-2.77238265) × cos(1.28361154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.283253434710369 × 6371000     		do = 173.007733731583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77228678-2.77238265) × cos(1.28358438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.283279482270637 × 6371000     		du = 173.023643262833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28361154)-sin(1.28358438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283253434710369-0.283279482270637)×R²
    abs(2.77238265-2.77228678)×2.60475602683052e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60475602683052e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60475602683052e-05×40589641000000     		ar = 29938.0049625044m²