Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61683 / 12575
↖ ↑ ↗
← N 73.579720°
E158.834839°		 ← 172.66 m → N 73.579720°
E158.840332°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
N 73.578167°
E158.834839°		 ← 172.67 m →
29 811 m²		 N 73.578167°
E158.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941215515136719 y=0.191886901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941215515136719 × 216)
    floor (0.941215515136719 × 65536)
    floor (61683.5)     		tx = 61683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191886901855469 × 216)
    floor (0.191886901855469 × 65536)
    floor (12575.5)     		ty = 12575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61683 / 12575 ti = "16/61683/12575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61683/12575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61683 ÷ 216
    61683 ÷ 65536     		x = 0.941207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12575 ÷ 216
    12575 ÷ 65536     		y = 0.191879272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.941207885742188 × 2 - 1) × π
    0.882415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77219091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191879272460938 × 2 - 1) × π
    0.616241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93597962805559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77219091} λ = 2.77219091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93597962805559))-π/2
    2×atan(6.93083036668081)-π/2
    2×1.42750235300994-π/2
    2.85500470601988-1.57079632675     		φ = 1.28420838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77219091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.834839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28420838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.579720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61683 KachelY 12575 2.77219091 1.28420838 158.834839 73.579720
    Oben rechts KachelX + 1 61684 KachelY 12575 2.77228678 1.28420838 158.840332 73.579720
    Unten links KachelX 61683 KachelY + 1 12576 2.77219091 1.28418128 158.834839 73.578167
    Unten rechts KachelX + 1 61684 KachelY + 1 12576 2.77228678 1.28418128 158.840332 73.578167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28420838-1.28418128) × R
    2.70999999998356e-05 × 6371000     		dl = 172.654099998953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28420838-1.28418128) × R
    2.70999999998356e-05 × 6371000     		dr = 172.654099998953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77219091-2.77228678) × cos(1.28420838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282680987820653 × 6371000     		do = 172.65809017237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77219091-2.77228678) × cos(1.28418128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282706982415702 × 6371000     		du = 172.673967353112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28420838)-sin(1.28418128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282680987820653-0.282706982415702)×R²
    abs(2.77228678-2.77219091)×2.59945950484841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59945950484841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59945950484841e-05×40589641000000     		ar = 29811.4977982187m²