Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61681 / 77444
↖ ↑ ↗
← S 31.062345°
W 10.588074°		 ← 261.63 m → S 31.062345°
W 10.585327°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
S 31.064698°
W 10.588074°		 ← 261.62 m →
68 440 m²		 S 31.064698°
W 10.585327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470592498779297 y=0.590854644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470592498779297 × 217)
    floor (0.470592498779297 × 131072)
    floor (61681.5)     		tx = 61681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590854644775391 × 217)
    floor (0.590854644775391 × 131072)
    floor (77444.5)     		ty = 77444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61681 / 77444 ti = "17/61681/77444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61681/77444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61681 ÷ 217
    61681 ÷ 131072     		x = 0.470588684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77444 ÷ 217
    77444 ÷ 131072     		y = 0.590850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470588684082031 × 2 - 1) × π
    -0.0588226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18479675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.18170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570832600675629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18479675} λ = -0.18479675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570832600675629))-π/2
    2×atan(0.565054777800671)-π/2
    2×0.514328063008019-π/2
    1.02865612601604-1.57079632675     		φ = -0.54214020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18479675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.588074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54214020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.062345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61681 KachelY 77444 -0.18479675 -0.54214020 -10.588074 -31.062345
    Oben rechts KachelX + 1 61682 KachelY 77444 -0.18474881 -0.54214020 -10.585327 -31.062345
    Unten links KachelX 61681 KachelY + 1 77445 -0.18479675 -0.54218126 -10.588074 -31.064698
    Unten rechts KachelX + 1 61682 KachelY + 1 77445 -0.18474881 -0.54218126 -10.585327 -31.064698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54214020--0.54218126) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dl = 261.593260000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54214020--0.54218126) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dr = 261.593260000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18479675--0.18474881) × cos(-0.54214020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856606364006803 × 6371000     		do = 261.629632615467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18479675--0.18474881) × cos(-0.54218126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856585177536778 × 6371000     		du = 261.623161722182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54214020)-sin(-0.54218126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856606364006803-0.856585177536778)×R²
    abs(-0.18474881--0.18479675)×2.11864700255804e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11864700255804e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11864700255804e-05×40589641000000     		ar = 68439.7021469974m²