Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61680 / 77102
↖ ↑ ↗
← S 30.254322°
W 10.590820°		 ← 263.77 m → S 30.254322°
W 10.588074°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 30.256695°
W 10.590820°		 ← 263.76 m →
69 571 m²		 S 30.256695°
W 10.588074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470584869384766 y=0.588245391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470584869384766 × 217)
    floor (0.470584869384766 × 131072)
    floor (61680.5)     		tx = 61680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588245391845703 × 217)
    floor (0.588245391845703 × 131072)
    floor (77102.5)     		ty = 77102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61680 / 77102 ti = "17/61680/77102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61680/77102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61680 ÷ 217
    61680 ÷ 131072     		x = 0.4705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77102 ÷ 217
    77102 ÷ 131072     		y = 0.588241577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588241577148438 × 2 - 1) × π
    -0.176483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.55443818100557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18484468} λ = -0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55443818100557))-π/2
    2×atan(0.574394876514173)-π/2
    2×0.521379394538992-π/2
    1.04275878907798-1.57079632675     		φ = -0.52803754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52803754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.254322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61680 KachelY 77102 -0.18484468 -0.52803754 -10.590820 -30.254322
    Oben rechts KachelX + 1 61681 KachelY 77102 -0.18479675 -0.52803754 -10.588074 -30.254322
    Unten links KachelX 61680 KachelY + 1 77103 -0.18484468 -0.52807894 -10.590820 -30.256695
    Unten rechts KachelX + 1 61681 KachelY + 1 77103 -0.18479675 -0.52807894 -10.588074 -30.256695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52803754--0.52807894) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52803754--0.52807894) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18484468--0.18479675) × cos(-0.52803754) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863797497396736 × 6371000     		do = 263.770957313996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18484468--0.18479675) × cos(-0.52807894) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.863776637715904 × 6371000     		du = 263.764587559512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52803754)-sin(-0.52807894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863797497396736-0.863776637715904)×R²
    abs(-0.18479675--0.18484468)×2.08596808318751e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08596808318751e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08596808318751e-05×40589641000000     		ar = 69571.2294070746m²