Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61678 / 33854
↖ ↑ ↗
← N 65.295763°
W 10.596314°		 ← 127.65 m → N 65.295763°
W 10.593567°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 65.294616°
W 10.596314°		 ← 127.65 m →
16 290 m²		 N 65.294616°
W 10.593567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470569610595703 y=0.258289337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470569610595703 × 217)
    floor (0.470569610595703 × 131072)
    floor (61678.5)     		tx = 61678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258289337158203 × 217)
    floor (0.258289337158203 × 131072)
    floor (33854.5)     		ty = 33854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61678 / 33854 ti = "17/61678/33854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61678/33854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61678 ÷ 217
    61678 ÷ 131072     		x = 0.470565795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33854 ÷ 217
    33854 ÷ 131072     		y = 0.258285522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470565795898438 × 2 - 1) × π
    -0.058868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18494056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258285522460938 × 2 - 1) × π
    0.483428955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51873685376262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18494056} λ = -0.18494056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51873685376262))-π/2
    2×atan(4.56645345213561)-π/2
    2×1.35521119531971-π/2
    2.71042239063942-1.57079632675     		φ = 1.13962606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18494056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.596314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13962606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.295763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61678 KachelY 33854 -0.18494056 1.13962606 -10.596314 65.295763
    Oben rechts KachelX + 1 61679 KachelY 33854 -0.18489262 1.13962606 -10.593567 65.295763
    Unten links KachelX 61678 KachelY + 1 33855 -0.18494056 1.13960603 -10.596314 65.294616
    Unten rechts KachelX + 1 61679 KachelY + 1 33855 -0.18489262 1.13960603 -10.593567 65.294616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13962606-1.13960603) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dl = 127.611130001088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13962606-1.13960603) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dr = 127.611130001088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18494056--0.18489262) × cos(1.13962606) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417934249163623 × 6371000     		do = 127.647877322134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18494056--0.18489262) × cos(1.13960603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417952445879649 × 6371000     		du = 127.653435067592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13962606)-sin(1.13960603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417934249163623-0.417952445879649)×R²
    abs(-0.18489262--0.18494056)×1.81967160255425e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81967160255425e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81967160255425e-05×40589641000000     		ar = 16289.6444827721m²