Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61677 / 77451
↖ ↑ ↗
← S 31.078813°
W 10.599060°		 ← 261.58 m → S 31.078813°
W 10.596314°		 →
↑
261.53 m
↓
↑
261.53 m
↓
S 31.081165°
W 10.599060°		 ← 261.58 m →
68 411 m²		 S 31.081165°
W 10.596314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470561981201172 y=0.590908050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470561981201172 × 217)
    floor (0.470561981201172 × 131072)
    floor (61677.5)     		tx = 61677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590908050537109 × 217)
    floor (0.590908050537109 × 131072)
    floor (77451.5)     		ty = 77451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61677 / 77451 ti = "17/61677/77451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61677/77451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61677 ÷ 217
    61677 ÷ 131072     		x = 0.470558166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77451 ÷ 217
    77451 ÷ 131072     		y = 0.590904235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470558166503906 × 2 - 1) × π
    -0.0588836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18498850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590904235839844 × 2 - 1) × π
    -0.181808471679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.571168158972969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18498850} λ = -0.18498850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571168158972969))-π/2
    2×atan(0.564865200790377)-π/2
    2×0.514184354764618-π/2
    1.02836870952924-1.57079632675     		φ = -0.54242762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18498850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.599060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54242762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.078813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61677 KachelY 77451 -0.18498850 -0.54242762 -10.599060 -31.078813
    Oben rechts KachelX + 1 61678 KachelY 77451 -0.18494056 -0.54242762 -10.596314 -31.078813
    Unten links KachelX 61677 KachelY + 1 77452 -0.18498850 -0.54246867 -10.599060 -31.081165
    Unten rechts KachelX + 1 61678 KachelY + 1 77452 -0.18494056 -0.54246867 -10.596314 -31.081165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54242762--0.54246867) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dl = 261.529549999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54242762--0.54246867) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dr = 261.529549999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18498850--0.18494056) × cos(-0.54242762) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856458028390994 × 6371000     		do = 261.58432710024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18498850--0.18494056) × cos(-0.54246867) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856436836975277 × 6371000     		du = 261.577854696413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54242762)-sin(-0.54246867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856458028390994-0.856436836975277)×R²
    abs(-0.18494056--0.18498850)×2.11914157172144e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11914157172144e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11914157172144e-05×40589641000000     		ar = 68411.1850006988m²