Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61676 / 40939
↖ ↑ ↗
← N 55.808999°
W 10.601806°		 ← 171.60 m → N 55.808999°
W 10.599060°		 →
↑
171.57 m
↓
↑
171.57 m
↓
N 55.807456°
W 10.601806°		 ← 171.61 m →
29 442 m²		 N 55.807456°
W 10.599060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470554351806641 y=0.312343597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470554351806641 × 217)
    floor (0.470554351806641 × 131072)
    floor (61676.5)     		tx = 61676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312343597412109 × 217)
    floor (0.312343597412109 × 131072)
    floor (40939.5)     		ty = 40939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61676 / 40939 ti = "17/61676/40939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61676/40939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61676 ÷ 217
    61676 ÷ 131072     		x = 0.470550537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40939 ÷ 217
    40939 ÷ 131072     		y = 0.312339782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.05889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18503643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312339782714844 × 2 - 1) × π
    0.375320434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.17910391995452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18503643} λ = -0.18503643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17910391995452))-π/2
    2×atan(3.25145932928102)-π/2
    2×1.27242355572043-π/2
    2.54484711144086-1.57079632675     		φ = 0.97405078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18503643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.601806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97405078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.808999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61676 KachelY 40939 -0.18503643 0.97405078 -10.601806 55.808999
    Oben rechts KachelX + 1 61677 KachelY 40939 -0.18498850 0.97405078 -10.599060 55.808999
    Unten links KachelX 61676 KachelY + 1 40940 -0.18503643 0.97402385 -10.601806 55.807456
    Unten rechts KachelX + 1 61677 KachelY + 1 40940 -0.18498850 0.97402385 -10.599060 55.807456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97405078-0.97402385) × R
    2.69299999999806e-05 × 6371000     		dl = 171.571029999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97405078-0.97402385) × R
    2.69299999999806e-05 × 6371000     		dr = 171.571029999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18503643--0.18498850) × cos(0.97405078) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561953471806233 × 6371000     		do = 171.599252916305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18503643--0.18498850) × cos(0.97402385) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561975747259412 × 6371000     		du = 171.606054993907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97405078)-sin(0.97402385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561953471806233-0.561975747259412)×R²
    abs(-0.18498850--0.18503643)×2.22754531793434e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22754531793434e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22754531793434e-05×40589641000000     		ar = 29442.0440915673m²