Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61676 / 12572
↖ ↑ ↗
← N 73.584378°
E158.796387°		 ← 172.61 m → N 73.584378°
E158.801880°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
N 73.582826°
E158.796387°		 ← 172.63 m →
29 792 m²		 N 73.582826°
E158.801880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941108703613281 y=0.191841125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941108703613281 × 216)
    floor (0.941108703613281 × 65536)
    floor (61676.5)     		tx = 61676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191841125488281 × 216)
    floor (0.191841125488281 × 65536)
    floor (12572.5)     		ty = 12572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61676 / 12572 ti = "16/61676/12572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61676/12572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61676 ÷ 216
    61676 ÷ 65536     		x = 0.94110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12572 ÷ 216
    12572 ÷ 65536     		y = 0.19183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94110107421875 × 2 - 1) × π
    0.8822021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77151979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19183349609375 × 2 - 1) × π
    0.6163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93626724945331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77151979} λ = 2.77151979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93626724945331))-π/2
    2×atan(6.93282410850589)-π/2
    2×1.42754299995311-π/2
    2.85508599990621-1.57079632675     		φ = 1.28428967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77151979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28428967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.584378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61676 KachelY 12572 2.77151979 1.28428967 158.796387 73.584378
    Oben rechts KachelX + 1 61677 KachelY 12572 2.77161566 1.28428967 158.801880 73.584378
    Unten links KachelX 61676 KachelY + 1 12573 2.77151979 1.28426258 158.796387 73.582826
    Unten rechts KachelX + 1 61677 KachelY + 1 12573 2.77161566 1.28426258 158.801880 73.582826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28428967-1.28426258) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dl = 172.59038999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28428967-1.28426258) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dr = 172.59038999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77151979-2.77161566) × cos(1.28428967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282603012382331 × 6371000     		do = 172.610463728282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77151979-2.77161566) × cos(1.28426258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282628998007764 × 6371000     		du = 172.626335430493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28428967)-sin(1.28426258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282603012382331-0.282628998007764)×R²
    abs(2.77161566-2.77151979)×2.59856254329338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.59856254329338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.59856254329338e-05×40589641000000     		ar = 29792.2769065556m²