Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61674 / 40957
↖ ↑ ↗
← N 55.781207°
W 10.607300°		 ← 171.76 m → N 55.781207°
W 10.604553°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.779662°
W 10.607300°		 ← 171.76 m →
29 502 m²		 N 55.779662°
W 10.604553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470539093017578 y=0.312480926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470539093017578 × 217)
    floor (0.470539093017578 × 131072)
    floor (61674.5)     		tx = 61674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312480926513672 × 217)
    floor (0.312480926513672 × 131072)
    floor (40957.5)     		ty = 40957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61674 / 40957 ti = "17/61674/40957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61674/40957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61674 ÷ 217
    61674 ÷ 131072     		x = 0.470535278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40957 ÷ 217
    40957 ÷ 131072     		y = 0.312477111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470535278320312 × 2 - 1) × π
    -0.058929443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18513231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312477111816406 × 2 - 1) × π
    0.375045776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.17824105576136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18513231} λ = -0.18513231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17824105576136))-π/2
    2×atan(3.24865497151421)-π/2
    2×1.2721810244259-π/2
    2.54436204885181-1.57079632675     		φ = 0.97356572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18513231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.607300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97356572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.781207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61674 KachelY 40957 -0.18513231 0.97356572 -10.607300 55.781207
    Oben rechts KachelX + 1 61675 KachelY 40957 -0.18508437 0.97356572 -10.604553 55.781207
    Unten links KachelX 61674 KachelY + 1 40958 -0.18513231 0.97353876 -10.607300 55.779662
    Unten rechts KachelX + 1 61675 KachelY + 1 40958 -0.18508437 0.97353876 -10.604553 55.779662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97356572-0.97353876) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97356572-0.97353876) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18513231--0.18508437) × cos(0.97356572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562354632200584 × 6371000     		do = 171.757579682278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18513231--0.18508437) × cos(0.97353876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562376925116817 × 6371000     		du = 171.764388512715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97356572)-sin(0.97353876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562354632200584-0.562376925116817)×R²
    abs(-0.18508437--0.18513231)×2.22929162335683e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22929162335683e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22929162335683e-05×40589641000000     		ar = 29502.0376341225m²