Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61673 / 40903
↖ ↑ ↗
← N 55.864523°
W 10.610046°		 ← 171.35 m → N 55.864523°
W 10.607300°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
N 55.862982°
W 10.610046°		 ← 171.36 m →
29 367 m²		 N 55.862982°
W 10.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470531463623047 y=0.312068939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470531463623047 × 217)
    floor (0.470531463623047 × 131072)
    floor (61673.5)     		tx = 61673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312068939208984 × 217)
    floor (0.312068939208984 × 131072)
    floor (40903.5)     		ty = 40903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61673 / 40903 ti = "17/61673/40903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61673/40903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61673 ÷ 217
    61673 ÷ 131072     		x = 0.470527648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40903 ÷ 217
    40903 ÷ 131072     		y = 0.312065124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470527648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0589447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18518024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312065124511719 × 2 - 1) × π
    0.375869750976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18082964834084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18518024} λ = -0.18518024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18082964834084))-π/2
    2×atan(3.2570753093769)-π/2
    2×1.27290809925258-π/2
    2.54581619850516-1.57079632675     		φ = 0.97501987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18518024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.610046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97501987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.864523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61673 KachelY 40903 -0.18518024 0.97501987 -10.610046 55.864523
    Oben rechts KachelX + 1 61674 KachelY 40903 -0.18513231 0.97501987 -10.607300 55.864523
    Unten links KachelX 61673 KachelY + 1 40904 -0.18518024 0.97499297 -10.610046 55.862982
    Unten rechts KachelX + 1 61674 KachelY + 1 40904 -0.18513231 0.97499297 -10.607300 55.862982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97501987-0.97499297) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dl = 171.379900000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97501987-0.97499297) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dr = 171.379900000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18518024--0.18513231) × cos(0.97501987) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561151607002045 × 6371000     		do = 171.354393851912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18518024--0.18513231) × cos(0.97499297) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.561173872279749 × 6371000     		du = 171.36119282231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97501987)-sin(0.97499297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561151607002045-0.561173872279749)×R²
    abs(-0.18513231--0.18518024)×2.22652777032151e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22652777032151e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22652777032151e-05×40589641000000     		ar = 29367.2814881528m²