Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61673 / 33704
↖ ↑ ↗
← N 65.467386°
W 10.610046°		 ← 126.79 m → N 65.467386°
W 10.607300°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
N 65.466245°
W 10.610046°		 ← 126.80 m →
16 083 m²		 N 65.466245°
W 10.607300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470531463623047 y=0.257144927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470531463623047 × 217)
    floor (0.470531463623047 × 131072)
    floor (61673.5)     		tx = 61673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257144927978516 × 217)
    floor (0.257144927978516 × 131072)
    floor (33704.5)     		ty = 33704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61673 / 33704 ti = "17/61673/33704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61673/33704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61673 ÷ 217
    61673 ÷ 131072     		x = 0.470527648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33704 ÷ 217
    33704 ÷ 131072     		y = 0.25714111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470527648925781 × 2 - 1) × π
    -0.0589447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18518024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25714111328125 × 2 - 1) × π
    0.4857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52592738870563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18518024} λ = -0.18518024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52592738870563))-π/2
    2×atan(4.59940703019077)-π/2
    2×1.35670888137158-π/2
    2.71341776274316-1.57079632675     		φ = 1.14262144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18518024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.610046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14262144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.467386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61673 KachelY 33704 -0.18518024 1.14262144 -10.610046 65.467386
    Oben rechts KachelX + 1 61674 KachelY 33704 -0.18513231 1.14262144 -10.607300 65.467386
    Unten links KachelX 61673 KachelY + 1 33705 -0.18518024 1.14260153 -10.610046 65.466245
    Unten rechts KachelX + 1 61674 KachelY + 1 33705 -0.18513231 1.14260153 -10.607300 65.466245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14262144-1.14260153) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14262144-1.14260153) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18518024--0.18513231) × cos(1.14262144) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415211143651412 × 6371000     		do = 126.789717704021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18518024--0.18513231) × cos(1.14260153) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415229256195293 × 6371000     		du = 126.795248587189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14262144)-sin(1.14260153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415211143651412-0.415229256195293)×R²
    abs(-0.18513231--0.18518024)×1.81125438810104e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81125438810104e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81125438810104e-05×40589641000000     		ar = 16083.1966608729m²